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Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 16 May 2005 18:07:11 -0300 (ART)
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
> > >Em geral essas provas de transcendencia sao
> > dificeis e usam bastante
> > >analise,
>
> Ou entao vc usa um resultado forte (nao precisa
> conhecer a demonstracao) e bem conhecido
>
> > Cláudio, uma vez eu tentei resolver a
> > equação x^x = 5
> >
>
> Numa mensagem de 30 de junho de 2000, Paulo
> Santa Rita escreveu:
>
> "Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se
>
> 1) A e algebrico, diferente de zero e um
> 2) B e irracional"
>
> suponha que x^x = 5. Digamos que ja sabemos que x
> eh irracional. Se x fosse algebrico, por Gelfond
> 5 seria trancendente, o que eh absurdo. Logo, se x
> eh irracional, tem que ser transcendente.
>
> ...Falei muita bobagem?
>
Não. E é fácil provar que x é irracional.
Suponha que x seja racional. Então x = m/n com m, n inteiros positivos e primos entre si. Também é claro que m > n (senão (m/n)^(m/n) seria menor do que 1).
 
(m/n)^(m/n) = 5 ==>
m^m = 5^n*n^m ==>
5 | m  ==> 
m = 5k ==>
5^m*k^m = 5^n*n^m ==>
5^(m-n)*k^m = n^m ==>
5 | n ==>
contradição, pois estamos supondo que m e n são primos entre si.
 
Repare que não há nada de especial com o 5. Se p for qualquer número primo, então x^x = p ==> x é transcendente.
 
[]s,
Claudio.