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Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 16 May 2005 06:54:03 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
> >Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado
> >qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a.
> >Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh
> >chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.
>
> Oi Cláudio. Considere a equação x^2 - sqrt(10)x + 2 =0.
> Delta = 10 - 4.1.2 = 2
> x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2
> Posso dizer que x_1 é transcendente?
 
Não. (raiz(10)+raiz(2))/2 é raiz de x^4 - 6x^2 + 4.
 
> Aliás sempre tive essa dúvida.
> Certamente o fato dos coeficientes do polinômio serem racionais é o
> mesmo que o
> os coeficientes do polinômio serem inteiros ==> tomamos o m.m.c das
> frações
> e multiplicamos. Mas então o que dizer deste caso que citei? O x_1
> parece
> ser mais ou menos "bem comportado".
> Não é um número como "e" ou número "pi" que são "meio estranhos".
> Aliás, alguém sabe dizer se pi^e ou e^e são transcendentes?
>
Não estou certo quanto a e^e mas pi^e eu tenho quase certeza de que ninguém sabe.
 
>
> >Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante
> >analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por
> >meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram
> senos,
> >cossenos, derivadas e integrais.
>
> Cláudio, uma vez eu tentei resolver a equação x^x = 5 (que é uma
> equação
> transcendente). Para isso basta notar que ela é equivalente a:
> x ln x = ln 5
> x ( soma_{n=1}^{\infty} (-1)^n*x^n/n) = ln x (se não me
> engano: preciso
> ver a expansão de Taylor para ln x em torno de x = 0) mas de qualquer
> modo
> a equação tem grau infinito e x não pode ser algébrico. Uma idéia é
> inverter a série
> de potências para x*ln x. Mas quando tentei fazer isso a coisa ficou
> complicadíssima!!
>
Eu acho que só dá pra fazer numericamente. Mas a solução é única, pois a função f: (0,+inf) -> R dada por f(x) = x^x é crescente para x >= 1/e.
 
Talvez seja mais eficiente usar o método de Newton:
Ponha x(1) = 2, por exemplo, e defina x(n+1) = x(n) - f(x_n)/f'(x_n).
f(x) = x^x - 5 e  f'(x) = x^x*(1 + log(x)) ==>
x(n+1) = x(n) - (x(n)^x(n) - 5)/(x(n)^x(n)*(1 + log(x(n))))
Na quinta iteração eu achei 2,1293724828.
 
 
> Precisa inverter a série de potências - Vi no livro de Spiegel -
> Advanced Calculus -
> Schaum Outline um problema semelhante: A solução era uma série
> de potências.
>
> Alguém da lista sabe como Isaac Newton fazia para inverter séries
> de potência?
 
Eu acho que o negócio é fazer no braço mesmo, ou seja, dada a série SOMA a_k*x^k com a_0 <> 0, a inversa é SOMA b_k*x^k e é tal que:
(b_0 + b_1*x + b_2*x^2 + ... )*(a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + ... ) = 1
 
Isso resulta no sistema linear infinito:
a_0*b_0 = 1
a_0*b_1 + a_1*b_0 = 0
a_0*b_2 + a_1*b_1 + a_2*b_0 = 0
...
e daí você obtendo os b_k por recorrência.
 
> Perguntei isso para um ex-professor meu mas ele não conseguiu
> responder.
> Sei que existe uma fórmula para produtos de séries de
> potência (veja "produto de Cauchy" em mathword.wolfram.com ). Mas
> existe alguma
> fórmula para inversão?
> Obrigado antecipadamente a todos que "ilimarem esta escuridão" :)
>
>
> >O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da
> >algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo
> >menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio
> >complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser
> >repetidas).
>
> Entendi. Um polinômio complexo é um polinômio em que os coeficientes são
> números
> complexos. É isto não?
 
Sim.
 
Preciso dar uma estudada melhor no assunto. O
> computador
> anda atrofiando meu cérebro... Felizmente não ando de carro. Senão meu
> coração estaria
> também atrofiado ...
>
 
[]s,
Claudio.