Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[Eric Campos <mathfire2001@xxxxxxxxxxxx>]

--- Ronaldo Luiz Alonso
<ronaldo.luiz.alonso@bol.com.br> escreveu:
> >Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes
> inteiros, senao dado
> >qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de
> p(x) = x - a.
> >Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com
> coeficientes inteiros eh
> >chamado de numero algebrico. Todos os demais sao
> transcendentes.
> 
>       Oi Cláudio.  Considere a equação x^2 -
> sqrt(10)x + 2 =0.
>       Delta = 10 - 4.1.2 = 2
>       x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2
>       Posso dizer que x_1 é transcendente?
>          Aliás sempre tive essa dúvida.
>

Acho que os seguintes calculos, se estiverem certos,
mostram que x_1 eh algebrico por ser raiz
da equacao

x^4 - 6x^2 + 4 = 0

de fato, tem-se:

x_1 = (sqrt(10)+sqrt(2))/2
2x_1 = sqrt(10)+sqrt(2)
2x_1 - sqrt(2) = sqrt(10)
(2x_1 - sqrt(2))^2 = 10
4(x_1)^2 - 4(x_1)sqrt(2) + 2 = 10
4(x_1)^2 - 8 = 4(x_1)sqrt(2)
(x_1)^2 - 2 = (x_1)sqrt(2)
((x_1)^2 - 2)^2 = 2(x_1)^2
(x_1)^4 - 4(x_1)^2 + 4 = 2(x_1)^2

isto eh, x_1 eh raiz de

x^4 - 6x^2 + 4 = 0,
(soh troquei x_1 por x)

logo x_1 eh algebrico.


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