[obm-l] Re: [obm-l] Axiomas da matemática

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

> Gostaria de
> saber se algum membro pode informar-me onde encontro a
> lista completa dos axiomas da matemática.

Daniel S. Braz  escreveu:

>o que vc quer exatamente? rigorosamente falando todo teorema é um
>axioma..e exitem milhares (milhoes?) de teoremas...seja mais
>especifico..ou então vc vai passar sua vida toda sem encontrar tal
>lista..

        De fato: Daniel tem razão.
          Se considerássemos os teoremas como axiomas,
poderíamos chegar nos axiomas como teoremas. Isso acontece devido
à uma coisa chamada em matemática de "equivalência":  Se A implica B (A
==>B)
e (B ==> A) então A e B são equivalentes (A<==> B)
               Este é o famoso "A é verdade se e somente se B for verdade",
ou
seja, dizer A é a mesma coisa que dizer B.
                              Em outras palavras, a matemática
é (a grosso modo) uma espécie de "cobra comendo o próprio rabo".

     Procure nos arquivos uma discussão sobre provadores automáticos de
teorema.
     Digite também no google ZFC e PA.

         Você irá encontrar (nesta mesma lista) excelentes mensagens antigas
escritas
   pelo professor Nicolau C. Saldanha, Paulo S. Rita  e outros ilustres
membros explicando
   com detalhes o porquê da tentativa de axiomatização da matemática ser
impossível.
     Logo vc nunca irá encontrar o que está procurando ...

      Só para dar um exemplo:
        O quinto postulado de Euclides da geometria plana diz que por um
ponto p fora
    de uma reta se pode traçar uma *única* reta paralela à reta dada. Certo?

       Certo na geometria PLANA.

       Já se provou que este quinto (5)  postulado é independente dos outros
quatro.  Três deles que eu me lembro são:

       (1) Por um ponto passam infinitas retas (geodésicas).
        (2) Por dois pontos passa uma única reta (geodésica).
        (3) ? Não me lembro ... Acho que é: duas retas não paralelas se
encontram em um único ponto.
        (4) ?  Não me lembro ... Acho que é: duas retas paralelas nunca se
encontram.
        (5) Por uma reta e um ponto p fora da reta existe uma única reta
paralela (geodésica) à reta dada.

         Na geometria elíptica por uma reta (a geodésica neste caso poderia
ser o
arco de círculo maior em uma esfera - por exemplo)
e um ponto p fora da reta, não passa *nenhuma* reta paralela, embora por um
ponto passem
infinitas retas e por dois pontos no círculo haja apenas um arco de círculo
maior ("reta", geodésica)
que os contenha. Por duas retas não paralelas se encontram em pelo menos
*dois pontos*  algo que não ocorre
na geometria plana, onde duas retas se encontram em apenas *um ponto*.

         Na geometria hiperbólica (Lobatchevsky) por uma reta e um ponto p
fora da reta passam
*infinitas*  retas paralelas e duas retas paralelas não se encontram em
*nenhum* ponto (Um exemplo de
variedade hiperbólica seria o meio plano hiperbólico H de Poincaré, ou então
o espaço-tempo de
Minkovsky  -  dê uma lida no livro de Ratchiffe - Foundations of Hyperbolic
Manifolds para maiores
informações).

         Mas nas três  geometrias (plana, elíptica e hiperbólica)
os quatro axiomas fundamentais da geometria (os quais não me lembro direito
de
todos) continuam sendo satisfeitos.
               O quinto postulado funciona - se eu interpretei bem o que
Paulo S.
Rita disse em uma mensagem recente - como uma "janela" para outras
formulações matemáticas que seriam utilizadas na formulação de problemas
onde
a aplicação de geometria plana não seria
 adequada - como a relatividade especial, por exemplo.

        Digite "Minkovsky Space Time", "Lorentz  Transformations" e/ou
 "Poincaré Group" no Google e confira.  As transformações de Hendrik Loretz
são do tipo
singular-hiperbólicas e formam um grupo semelhante ao grupo de Galileu
(rotações e translações) usado em física clássica para descrever a
relatividade de
movimentos retilíneos e uniformes (o princípio da relatividade foi
descoberto e formulado
por Galileu - as velocidades constantes são sempre relativas - e mostrou-se
posteriormente um princípio físico invariante, mesmo
em altas velocidades que deformam o espaço e o tempo e que portanto tornam a
geometria
plana inadequada).
         A grande contribuição de A. Einstein foi identificar a semelhança
entre gravidade e movimento
acelerado, o que permitiu generalizar a relatividade específica criada por
H. Lorentz e J. H. Poincaré
além de axiomatizar o princípio da relatividade como *um princípio físico* e
chegar a partir destes
axiomas às mesmas equações de Hendrik Lorenz.
     Einstein não foi o "descobridor" do princípio da relatividade, como se
pensa, mas o consolidador
do "princípio físico da  relatividade" - são coisas diferentes.
Epistemológicamente falando
quem deu o primeiro passo para a descoberta da teoria especial da
relatividade foi Fritzgerald :

         Todo mundo deu risada de Fritzgerald quando ele dizia que o elétron
se
"encolhia" na direção do movimento e por isso a experiência
de Milchelson e Morley fazia com que a velocidade da luz fosse a mesma em
qualquer referencial.

        Mas quando Hendrik Lorenz disse que isso era verdade NINGUEM deu
risada (interessante não?)
e ele formulou suas famosas transformações - que deram surgimento ao espaço
tempo de Minkovsky.

        No espaço tempo de Minkovsky há três tipos de vetores  - Os
"space-like vectors", os
"time-like vectors" e os "light-like vectors":     Eles forma conjuntos
disjuntos com intesecção vazia.

     No caso de presença aceleração a coisa é ainda mais complicada pois
o espaço-tempo de Minkovisky é "curvado" pela aceleração.

      Veja o livro de James Calahan - The geometry of Space Time - bastante
acessível para alunos colegiais que querem aprender um pouco de relatividade
especial
para maiores detalhes sobre este tipo de espaço (pelo menos nos três
primeiros capítulos).

      Os demais capítulos falam sobre relatividade geral e requerem
entendimento de geometria
diferencial - universitários no terceiro ano de matemática podem ler
tranquilamente.

      Há muita coisa interessante sobre esse assunto a ser estudada.  Mas
agora preciso ir.  Concursos e programas me esperam ...

[]s
     Ronaldo L. Alonso.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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