[obm-l] Re: [obm-l] Axiomas da matem�tica

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

> Gostaria de
> saber se algum membro pode informar-me onde encontro a
> lista completa dos axiomas da matem�tica.

Daniel S. Braz  escreveu:

>o que vc quer exatamente? rigorosamente falando todo teorema � um
>axioma..e exitem milhares (milhoes?) de teoremas...seja mais
>especifico..ou ent�o vc vai passar sua vida toda sem encontrar tal
>lista..

        De fato: Daniel tem raz�o.
          Se consider�ssemos os teoremas como axiomas,
poder�amos chegar nos axiomas como teoremas. Isso acontece devido
� uma coisa chamada em matem�tica de "equival�ncia":  Se A implica B (A
==>B)
e (B ==> A) ent�o A e B s�o equivalentes (A<==> B)
               Este � o famoso "A � verdade se e somente se B for verdade",
ou
seja, dizer A � a mesma coisa que dizer B.
                              Em outras palavras, a matem�tica
� (a grosso modo) uma esp�cie de "cobra comendo o pr�prio rabo".

     Procure nos arquivos uma discuss�o sobre provadores autom�ticos de
teorema.
     Digite tamb�m no google ZFC e PA.

         Voc� ir� encontrar (nesta mesma lista) excelentes mensagens antigas
escritas
   pelo professor Nicolau C. Saldanha, Paulo S. Rita  e outros ilustres
membros explicando
   com detalhes o porqu� da tentativa de axiomatiza��o da matem�tica ser
imposs�vel.
     Logo vc nunca ir� encontrar o que est� procurando ...

      S� para dar um exemplo:
        O quinto postulado de Euclides da geometria plana diz que por um
ponto p fora
    de uma reta se pode tra�ar uma *�nica* reta paralela � reta dada. Certo?

       Certo na geometria PLANA.

       J� se provou que este quinto (5)  postulado � independente dos outros
quatro.  Tr�s deles que eu me lembro s�o:

       (1) Por um ponto passam infinitas retas (geod�sicas).
        (2) Por dois pontos passa uma �nica reta (geod�sica).
        (3) ? N�o me lembro ... Acho que �: duas retas n�o paralelas se
encontram em um �nico ponto.
        (4) ?  N�o me lembro ... Acho que �: duas retas paralelas nunca se
encontram.
        (5) Por uma reta e um ponto p fora da reta existe uma �nica reta
paralela (geod�sica) � reta dada.

         Na geometria el�ptica por uma reta (a geod�sica neste caso poderia
ser o
arco de c�rculo maior em uma esfera - por exemplo)
e um ponto p fora da reta, n�o passa *nenhuma* reta paralela, embora por um
ponto passem
infinitas retas e por dois pontos no c�rculo haja apenas um arco de c�rculo
maior ("reta", geod�sica)
que os contenha. Por duas retas n�o paralelas se encontram em pelo menos
*dois pontos*  algo que n�o ocorre
na geometria plana, onde duas retas se encontram em apenas *um ponto*.

         Na geometria hiperb�lica (Lobatchevsky) por uma reta e um ponto p
fora da reta passam
*infinitas*  retas paralelas e duas retas paralelas n�o se encontram em
*nenhum* ponto (Um exemplo de
variedade hiperb�lica seria o meio plano hiperb�lico H de Poincar�, ou ent�o
o espa�o-tempo de
Minkovsky  -  d� uma lida no livro de Ratchiffe - Foundations of Hyperbolic
Manifolds para maiores
informa��es).

         Mas nas tr�s  geometrias (plana, el�ptica e hiperb�lica)
os quatro axiomas fundamentais da geometria (os quais n�o me lembro direito
de
todos) continuam sendo satisfeitos.
               O quinto postulado funciona - se eu interpretei bem o que
Paulo S.
Rita disse em uma mensagem recente - como uma "janela" para outras
formula��es matem�ticas que seriam utilizadas na formula��o de problemas
onde
a aplica��o de geometria plana n�o seria
 adequada - como a relatividade especial, por exemplo.

        Digite "Minkovsky Space Time", "Lorentz  Transformations" e/ou
 "Poincar� Group" no Google e confira.  As transforma��es de Hendrik Loretz
s�o do tipo
singular-hiperb�licas e formam um grupo semelhante ao grupo de Galileu
(rota��es e transla��es) usado em f�sica cl�ssica para descrever a
relatividade de
movimentos retil�neos e uniformes (o princ�pio da relatividade foi
descoberto e formulado
por Galileu - as velocidades constantes s�o sempre relativas - e mostrou-se
posteriormente um princ�pio f�sico invariante, mesmo
em altas velocidades que deformam o espa�o e o tempo e que portanto tornam a
geometria
plana inadequada).
         A grande contribui��o de A. Einstein foi identificar a semelhan�a
entre gravidade e movimento
acelerado, o que permitiu generalizar a relatividade espec�fica criada por
H. Lorentz e J. H. Poincar�
al�m de axiomatizar o princ�pio da relatividade como *um princ�pio f�sico* e
chegar a partir destes
axiomas �s mesmas equa��es de Hendrik Lorenz.
     Einstein n�o foi o "descobridor" do princ�pio da relatividade, como se
pensa, mas o consolidador
do "princ�pio f�sico da  relatividade" - s�o coisas diferentes.
Epistemol�gicamente falando
quem deu o primeiro passo para a descoberta da teoria especial da
relatividade foi Fritzgerald :

         Todo mundo deu risada de Fritzgerald quando ele dizia que o el�tron
se
"encolhia" na dire��o do movimento e por isso a experi�ncia
de Milchelson e Morley fazia com que a velocidade da luz fosse a mesma em
qualquer referencial.

        Mas quando Hendrik Lorenz disse que isso era verdade NINGUEM deu
risada (interessante n�o?)
e ele formulou suas famosas transforma��es - que deram surgimento ao espa�o
tempo de Minkovsky.

        No espa�o tempo de Minkovsky h� tr�s tipos de vetores  - Os
"space-like vectors", os
"time-like vectors" e os "light-like vectors":     Eles forma conjuntos
disjuntos com intesec��o vazia.

     No caso de presen�a acelera��o a coisa � ainda mais complicada pois
o espa�o-tempo de Minkovisky � "curvado" pela acelera��o.

      Veja o livro de James Calahan - The geometry of Space Time - bastante
acess�vel para alunos colegiais que querem aprender um pouco de relatividade
especial
para maiores detalhes sobre este tipo de espa�o (pelo menos nos tr�s
primeiros cap�tulos).

      Os demais cap�tulos falam sobre relatividade geral e requerem
entendimento de geometria
diferencial - universit�rios no terceiro ano de matem�tica podem ler
tranquilamente.

      H� muita coisa interessante sobre esse assunto a ser estudada.  Mas
agora preciso ir.  Concursos e programas me esperam ...

[]s
     Ronaldo L. Alonso.

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