Re: [obm-l] Irredutíveis e Anéis

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 11.05.05 17:12, Chicao Valadares at chicaovaladares@yahoo.com.br wrote:

> estou meio enferrujado, nao sei se esta certo mas ai
> vai:
> 
> Z[sqrt3] isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3)
> => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3)/(p)

Oi, Chicao:

Vou escrever os detalhes pra guardar esta solucao no meu arquivos.

O p do lado esquerdo eh um elemento de Z[raiz(3)] e o p do lado direito um
elemento de Z[x]/<x^2-3>.
Assim, um elemento tipico do ideal <p> da esquerda eh:
(a + b*raiz(3))*p (a, b em Z)
enquanto que do ideal <p> da direita eh:
(a + b*x + <x^2-3>)*(p + <x^2-3>) = (a + b*x)*p + <x^2-3>

Como os dois aneis sao isomorfos, voce pode fazer a identificacao.
O isomorfismo original leva a + b*raiz(3)  em  a + b*x + <x^2-3>.

Nos aneis quociente, ele leva:
a + b*raiz(3) + <p>  em  a + b*x + <x^2-3> + <p> = a + b*x + <x^2-3,p>.
 
> => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3 ,p)

Elemento tipico do anel quociente da esquerda:
a + b*raiz(3) + <p>, com a, b em Z.

Elemento tipico do anel quociente da direita:
a + b*x + <x^2-3,p>, onde 0 <= a,b <= p-1.

Isso quer dizer que estes aneis quociente tem p^2 elementos cada.


> => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(p)/(x^2 - 3 ,p)/(p)

Esse eh o 3o. teorema dos isomorfismos. Foi nesse ponto que eu empaquei,
pois nao me lembrei dele. Boa sacada!

Z[x]/<p> ~ (Z/<p>)[x] ~ Z_p[x].
<x^2 - 3,p>/<p> ~ <x^2 - 3>.
Logo:

> => Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Zp[x]/(x^2 - 3)

> Desde que x^2 -3 é irredutivel=primo(hipotese) em
> Zp[x](Zp[x] é DFU) =>Zp[x]/(x^2 - 3) é anel de
> integridade => 
> Z[sqrt3]/(p) é anel de integridade => (p) é primo em
> Z[sqrt3].....
> 
Excelente! Muito obrigado.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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