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Re: [obm-l] Irredutíveis e Anéis
estou meio enferrujado, nao sei se esta certo mas ai
vai:
Z[sqrt3] isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3)
=> Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3)/(p)
=> Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3 ,p)
=> Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(p)/(x^2 - 3 ,p)/(p)
=> Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Zp[x]/(x^2 - 3)
Desde que x^2 -3 é irredutivel=primo(hipotese) em
Zp[x](Zp[x] é DFU) =>Zp[x]/(x^2 - 3) é anel de
integridade =>
Z[sqrt3]/(p) é anel de integridade => (p) é primo em
Z[sqrt3].....
--- Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
<gugu@impa.br> escreveu:
> Se p divide (a+b.raiz(3))(c+d.raiz(3)), entao p
> divide
> (a^2-3b^2)(c^2-3d^2), e logo p divide um desses
> fatores, digamos a^2-3b^2.
> Como x^2-3 'e irredutivel, e logo nao tem raiz em
> Z/pZ, se p divide a^2-3b^2
> entao p divide b (senao b e' invertivel em Z/pZ, e
> a/b e' raiz de x^2-3), e
> logo p divide a, donde p divide a+b.raiz(3).
> Abracos,
> Gugu
> >
> >
>
>--_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759
> >Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1
> >Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
> >
> >Preciso de ajuda com o exerc=EDcio 3 da se=E7=E3o
> IV.4 do livro Elementos=
> > de =C1lgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain -
> Projeto Euclides):
> >
> >a) Mostre que Z[raiz(3)] =E9 isomorfo a
> Z[x]/(x^2-3).
> >
> >b) Seja p um primo de Z. Mostre que p =E9 um
> elemento primo de Z[raiz(3)]=
> > se e somente se o polin=F4mio x^2 - 3 =E9
> irredut=EDvel em (Z/pZ)[x].
> >
> >Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) =E9
> o n=FAcleo do homomor=
> >fismo sobrejetor H:Z[x] -> Z[raiz(3)] dado por
> H(f(x)) =3D f(raiz(3)) e i=
> >nvocando o teorema dos homomorfismos.
> >
> >No item (b) eu provei que se p =E9 primo em
> Z[raiz(3)] ent=E3o x^2 - 3 =E9=
> > irredut=EDvel (de fato, eu provei o
> contrapositivo):
> >x^2 - 3 n=E3o =E9 irredut=EDvel em Z_p[x] <=3D=3D>
> >x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x] <=3D=3D>
> >existe um inteiro a tal que a^2 =3D=3D 3 (mod p)
> =3D=3D>
> >
> >p divide a^2 - 3 =3D (a + raiz(3))(a - raiz(3)) em
> Z[raiz(3)].
> >
> >Mas p n=E3o divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois
> se dividisse, teria q=
> >ue dividir os coeficientes de raiz(3) respectivos,
> iguais a 1 e -1, o que=
> > =E9 uma contradi=E7=E3o, pois p =E9 um primo de Z.
> >Logo, p n=E3o =E9 primo em Z[raiz(3)].
> >
> >No entanto, n=E3o estou conseguindo provar a
> rec=EDproca. Imagino que, de=
> > alguma forma, eu tenha que usar o item (a).
> >
> >Qualquer ajuda ser=E1 bem vinda.
> >
> >[]s,
> >Claudio.
> >
>
>--_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759
> >Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1
> >Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
> >
> ><DIV>Preciso de ajuda com o exerc=EDcio 3 da
> se=E7=E3o IV.4 do livro=
> > Elementos de =C1lgebra (Arnaldo Garcia e Yves
> Lequain - Projeto Euclides=
> >):</DIV>
> ><DIV> </DIV>
> ><DIV>a) Mostre que Z[raiz(3)] =E9 isomorfo a
> Z[x]/(x^2-3).</DIV>
> ><DIV> </DIV>
> ><DIV>b) Seja p um primo de Z. Mostre que p =E9 um
> elemento primo de Z[rai=
> >z(3)] se e somente se o polin=F4mio x^2 - 3 =E9
> irredut=EDvel em (Z/pZ)[x=
> >].</DIV>
> ><DIV> </DIV>
> ><DIV>Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal
> (x^2-3) =E9 o n=FAcleo do ho=
> >momorfismo sobrejetor H:Z[x] ->
> Z[raiz(3)] dado por H(f(x)) =3D f=
> >(raiz(3)) e invocando o teorema dos
> homomorfismos.</DIV>
> ><DIV> </DIV>
> ><DIV>No item (b) eu provei que se p =E9 primo em
> Z[raiz(3)] ent=E3o x^2 -=
> > 3 =E9 irredut=EDvel (de fato, eu provei o
> contrapositivo):</DIV>
> ><DIV>x^2 - 3 n=E3o =E9 irredut=EDvel em
> Z_p[x] <=3D=3D></DIV>=
> >
> ><DIV>x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x]
> <=3D=3D></DIV>
> ><DIV>existe um inteiro a tal que a^2 =3D=3D 3
> (mod p) =3D=3D></DI=
> >V>
> ><DIV> </DIV>
> ><DIV>p divide a^2 - 3 =3D (a + raiz(3))(a -
> raiz(3)) em Z[raiz(3)].<=
> >/DIV>
> ><DIV> </DIV>
> ><DIV>Mas p n=E3o divide a + raiz(3) nem a - raiz(3)
> pois se dividisse, te=
> >ria que dividir os coeficientes de
> raiz(3) respectivos, iguais a 1 e=
> > -1, o que =E9 uma contradi=E7=E3o, pois p =E9 um
> primo de Z.</DIV>
> ><DIV>Logo, p n=E3o =E9 primo em Z[raiz(3)].</DIV>
> ><DIV> </DIV>
> ><DIV>No entanto, n=E3o estou conseguindo provar a
> rec=EDproca. Imagino qu=
> >e, de alguma forma, eu tenha que usar o item
> (a).</DIV>
> ><DIV> </DIV>
> ><DIV>Qualquer ajuda ser=E1 bem vinda.</DIV>
> ><DIV> </DIV>
> ><DIV>[]s,</DIV>
> ><DIV>Claudio.</DIV>
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> >Instrugues para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos
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