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Re:[obm-l] mais uma do Munkres q naum....
Seja g:C -> R dada por:
para (x,y) em (0,1]x(0,1]: g(x,y) = 1/(raiz(x)*raiz(y));
para (x,y) em (0,1]x(1,+inf]: g(x,y) = 1/(raiz(x)*y^2);
para (x,y) em (1,+inf]x(0,1]: g(x,y) = 1/(x^2*raiz(y));
para (x,y) em (1,+inf]x(1,+inf]: g(x,y) = 1/(x^2*y^2).
f é contínua em C e 0 < f(x,y) <= g(x,y) para todo (x,y) em C.
Logo, f é integrável se g for integrável.
Mas g é integrável em C, sendo que:
em (0,1]x(0,1] a integral vale 4,
em (0,1]x(1,+inf] e em (1,+inf]x(0,1] ela vale 2, e
em (1,+inf]x(1,+inf] ela vale 1.
Logo, Integral((x,y) em C) g(x,y) = 4+2+2+1 = 9.
Portanto, Integral((x,y) em C) f(x,y) existe e é <= 9.
***
Oi, Éder:
Ultimamente você tem mandado problemas de análise, álgebra abstrata e álgebra linear. Você está cursando todas estas matérias?
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"Lista OBM" obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 10 May 2005 17:32:03 -0300 (ART) |
| Assunto: |
[obm-l] mais uma do Munkres q naum.... |
> Olá gente!!!
>
> Não estou conseguindo concluir a solução da quetão
> abaixo (também tirada de "Analysis on Manifolds" -
> Munkres).
>
> Sejam C = {(x,y); x > 0 e y > 0} (aberto em R^2!) e
> f(x,y) = 1/{[x^2 + sqrt(x)].[y^2 + sqrt(y)]}. Mostre
> que existe a integral de f sobre C.
>
> Obs. do Livro: Não tente calculá-la!!!
>
> Notação: sqrt(x) é o mesmo que raiz quadrada de x.
>
> Esta questão encontra-se na parte de integrais
> impróprias!!!
>
> Como eu estava tentando resolvê-la:
>
> Tomemos C como a reunião dos retângulos fechados C_n =
> [1/n,n]x[1/n,n], onde n varia nos naturais (sem o
> zero, é claro!). Daí temos que C_n estah contido no
> interior de C_(n+1) (para cada n) e f é contínua em
> cada C_n, donde segue-se que ela é limitada (pois cada
> C_n é compacto!). Com isso, temos as hipóteses de um
> teorema (do livros acima) que diz que |f| (e no nosso
> caso f) é integrável sobre C (que é aberto!) se, e só
> se a sequência da integrais de f sobre C_n é limitada.
> Meu problema é justamente esse, ou seja, não estou
> conseguindo mostrar que a integral de f sobre cada C_n
> existe e que a sequência formada por elas é limitada.
>
> Grato desde já, éder.
>
>