[obm-l] Irredutíveis e Anéis

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Preciso de ajuda com o exercício 3 da seção IV.4 do livro Elementos de Álgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - Projeto Euclides):

 

a) Mostre que Z[raiz(3)] é isomorfo a Z[x]/(x^2-3).

 

b) Seja p um primo de Z. Mostre que p é um elemento primo de Z[raiz(3)] se e somente se o polinômio x^2 - 3 é irredutível em (Z/pZ)[x].

 

Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) é o núcleo do homomorfismo sobrejetor H:Z[x] -> Z[raiz(3)] dado por H(f(x)) = f(raiz(3)) e invocando o teorema dos homomorfismos.

 

No item (b) eu provei que se p é primo em Z[raiz(3)] então x^2 - 3 é irredutível (de fato, eu provei o contrapositivo):

x^2 - 3 não é irredutível em Z_p[x]  <==>

x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x]  <==>

existe um inteiro a tal que a^2 == 3 (mod p) ==>

 

p divide a^2 - 3 = (a + raiz(3))(a - raiz(3)) em Z[raiz(3)].

 

Mas p não divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois se dividisse, teria que dividir os coeficientes de raiz(3) respectivos, iguais a 1 e -1, o que é uma contradição, pois p é um primo de Z.

Logo, p não é primo em Z[raiz(3)].

 

No entanto, não estou conseguindo provar a recíproca. Imagino que, de alguma forma, eu tenha que usar o item (a).

 

Qualquer ajuda será bem vinda.

 

[]s,

Claudio.