[obm-l] Re: Re: [obm-l] soma trigonométrica

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

>Oi Renan, olá André, olá pessoal da lista, oi Shine.

Somas telescópicas e antidiferenças têm tudo a ver.

A soma numa outra notação é
S = soma_{i=1}^n sin(beta + i alpha) = soma_{i=1}^n
[sin beta cos i alpha + cos beta sin i alpha] =
[sin beta soma_{i=1}^n cos i alpha] + [cos beta soma_{i=1}^n sin i alpha] .

Agora sabendo as antidiferenças F(i) de cos i alpha e sin i alpha
as somas são facilmente avaliadas.

f(i) = cos i alpha ==> F(i) = sin[i - 1/2]alpha / 2sin alpha/2.

f(i) = sin i alpha ==> F(i) = - cos[i - 1/2]alpha / 2sin alpha/2.

Agora usem o resultado soma_{i=1}^n f(i) = F(n+1) - F(1)
para concluir que

S = [sin(n alpha/2)/sin(alpha/2)] sin[beta + (n+1)alpha/2] .

Esse resultado aparece na amostra do Vol 1 (exercício 68) em

www.escolademestres.com/qedtexte

[]'s
Luís


>From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Re: [obm-l] soma trigonométrica
>Date: Fri, 6 May 2005 08:23:35 -0700 (PDT)
>
>Oi Renan, olá André, olá pessoal da lista.
>
>Hmmm... eu fiz assim:
>
>Seja S = senx + sen(x+f) + sen(x+2f) + sen(x+3f)+...+
>sen(x+nf) a soma desejada.
>
>Nossa meta aqui é transformar essa soma numa soma
>telescópica (se você não sabe o que é, aguarde que
>você entenderá o que é no final).
>
>Vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:
>   2sen a sen b = cos(a-b) - cos(a+b)

[....]

>Depois é só ajeitar para obter a soma de novo em
>função dos senos. Vou deixar as contas com vocês.
>
>[]'s
>Shine
>


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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