Re: Re: [obm-l] soma trigonométrica

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi Renan, olá André, olá pessoal da lista.

Hmmm... eu fiz assim:

Seja S = senx + sen(x+f) + sen(x+2f) + sen(x+3f)+...+
sen(x+nf) a soma desejada.

Nossa meta aqui é transformar essa soma numa soma
telescópica (se você não sabe o que é, aguarde que
você entenderá o que é no final).

Vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:
  2sen a sen b = cos(a-b) - cos(a+b)

Você pode dizer que não há produtos de senos em S. Mas
em 2Ssen b tem:
  2Ssen b = 2sen x sen b + 2sen(x+f)senb
          + 2sen(x+2f)sen b + ... + 2sen(x+nf)sen b

Utilizando a identidade supracitada (eu sempre quis
usar essa palavra!! :) ),
  2Ssen b = (cos(x-b) - cos(x+b))
          + (cos(x+f-b) - cos(x+f+b))
          + (cos(x+2f-b) - cos(x+2f+b))
          + ...
          + (cos(x+nf-b) - cos(x+nf+b))

Que bom seria se x+b = x+f-b; x+f+b = x+2f-b; ...;
x+(n-1)f+b = x+nf-b, pois quase todos os cossenos se
cortariam e obteríamos a tão sonhada soma telescópica
(que é uma soma do tipo soma(f(k+1)-f(k)):
  2Ssen b = cos(x-b) - cos(x+nf+b)

Mas nesse caso podemos escolher b = f/2 (resolva as
equações da primeira linha do parágrafo acima para
encontrar b!) e obtemos
  2Ssen(f/2) = cos(x-f/2) - cos(x+(n+1/2)f)

Podemos aplicar a identidade
  cos u - cos v = 2sen[(u+v)/2]sen[(v-u)/2]
para obter
  2Ssen(f/2) = 2sen(x+fn/2)sen[f(n+1)/2]

Ou seja,
  S = sen(x+fn/2)sen[f(n+1)/2]/sen(f/2)

Outra maneira (que eu em particular acho mais fácil) é
usar a definição de seno em função dos "números
vogais" e e i:
  sen a = [e^{ai} - e^{-ai}]/[2i]

Nesse caso, a soma S se reduz a duas somas de PGs
(veja as duas colunas):
  S = [e^{xi} - e^{-xi}]/[2i]
    + [e^{(x+f)i} - e^{-(x+f)i}]/[2i]
    + [e^{(x+2f)i} - e^{-(x+2f)i}]/[2i]
    + ...
    + [e^{(x+nf)i} - e^{-(x+nf)i}]/[2i]

Depois é só ajeitar para obter a soma de novo em
função dos senos. Vou deixar as contas com vocês.

[]'s
Shine

--- André Barreto
<andre_sento_se_barreto@yahoo.com.br> wrote:
> OI! Creio que seja assim Renan.
>  
> sen(x) + sen(x) cos( f ) + sen( f ) cos (x) + sen(x)
> cos (2f) + sen(2f) cos(x) + sen(x) cos(3f) + sen(3f)
> cos(x) + ... + sen(x) cos(nf) + sen(nf) cos(x)
>  
> coloca o sen(x) em evidencia.
>  
> sen(x) [ 1 + cos( f ) + sen( f ) cotg(x) + cos (2f)
> + sen(2f) cotg(x) + cos(3f) + sen(3f) cotg(x) + ...
> + cos(nf) + sen(nf) cotg(x)]
>  
> agora agrupa os cos(f...) e coloca cotg(x) em
> evidencia.
>  
> sen(x) { 1 + cos( f ) + cos( 2f ) + cos( 3f ) + ...
> + cos( nf ) + 
> + cotg(x) [ sen( f ) + sen(2f) + sen(3f) + ... +
> sen(nf) ] }
>  
> bem agora eu devo me desculpar : ), eu não lembro
> como descobre;
>  
>  1 + cos( f ) + cos( 2f ) + cos( 3f ) + ... + cos(
> nf ) = A(n)
> sen( f ) + sen(2f) + sen(3f) + ... + sen(nf) = B(n)
>  
> mas creio que o caminho seja este...
>  
> espero ter ajudado em algo!
>  
> Atenciosamente,
>  
> André Sento Sé Barreto
>  
>  
>  
>  
>  
> 
> Renan Machado <renankmachado@lycos.com> escreveu:
> nao sei se jah foi mandado algum problema parecido:
> 
> quanto vale a soma senx + sen(x+f) + sen(x+2f) +
> sen(x+3f)+...+ sen(x+nf)??
> -- 
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