Re: [obm-l] Área entre curvas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 30.04.05 13:57, kleinad@webcpd.com at kleinad@webcpd.com wrote:

> Seja C uma curva plana convexa e fechada (de classe C^1). Considere um
> segmento que desliza sobre C (com extremidades em C e comprimento fixo) até
> dar uma volta completa. Considere a curva K descrita por um ponto P do
> segmento, situado a distândias a e b das extremidades. Mostre que a área da
> região compreendida entre C e K é pi*a*b.
> 
> []s,
> Daniel
> 
Legal esse problema. Aqui vai minha tentativa de solucao heuristica.

Se C for uma circunferencia, a demonstracao sai facil usando a potencia de P
em relacao a C. Naturalmente, P irah descrever uma circunferencia de raio d
concentrica com C, cujo raio eh r. Chamando o segmento de XY e o diametro
contendo P de AB, teremos: |XP|*|PY| = |AP|*|PB| ==> a*b = (r-d)*(r+d) ==>
r^2-d^2 = a*b ==> Area Desejada = pi*(r^2 - d^2) = pi*a*b.

Em particular, tomando um elemento de area dS, correspondente ao setor
circular de C subtendido por um angulo dt, teremos que:
dS = (1/2)*(r^2-d^2)*dt = (1/2)*a*b*dt.

No caso geral, como C eh uma curva plana convexa fechada de classe C^1, ela
eh localmente uma circunferencia (no sentido de que, para efeitos de calculo
de curvatura e area, podemos desprezar os termos de ordem >= 3), de modo
que, no arco de C delimitado pelo segmento, vai existir um ponto A tal que
A, P e O sao colineares (O = centro de curvatura relativo ao ponto A).

A medida que o segmento desliza, o ponto A varia continuamente (pois C eh de
classe C^1) e, apos uma volta completa (2pi radianos) do vetor curvatura
(ligando A a O) volta a posicao original (pois C eh fechada). Alem disso, P
ficarah sempre entre A e O (pois C eh convexa), de modo que o integrando
(elemento de area) nunca muda de sinal, permanecendo sempre positivo.

Dai, usando o resultado estabelecido pra circunferencias, achamos que a area
desejada eh igual a:
Integral(0...2pi) (1/2)*(r^2 - d^2)*dt = (1/2)*2*pi*a*b = pi*a*b.
  
Agora, eh soh formalizar essa baboseira que eu escrevi acima.


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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