[obm-l] Re: [obm-l] Variância de sigma^2

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

>Pessoal,
>Preciso de ajuda nesse.
>Sendo X_1, ..., X_n uma amostra aleatória de uma N(mu, tau^2), calcule
>Var(sigma^2), onde sigma^2 = (1/n * Sum_{i = 1}^n (X_i - Xbarra) é o
>estimador de máxima verossimilhança da variância.

    Vamos primeiro interpretar o problema proposto:

 Você tem uma gaussiana (para quem não sabe: é uma função cujo gráfico é uma
curva f:R-->R em forma de sino , se for unidimensional. Se for bidimensional
f: R^2 --> R o leitor pode pensar que de fato o gráfico dela
é mesmo um sino :-) , claro que a grosso
modo) com média mu e variância tau^2 no caso unidimensional.  No caso
bidimensional ela é definida por algo chamado matriz de covariância. Mas
como isso não foi mencionado suponho tudo unidimensional.
                 Daí você *amostra* (ou seja, discretiza)
essa função em diversas amostras discretas X_1, X_2,..., X_n  obtendo
portanto
um conjunto discreto.
       A partir desse conjunto discreto você quer estimar *parâmetros*  para
uma
distribuição que você supõe ser desconhecida.   Pelo que eu entendi, a
distribuição que você quer reconstruir é novamente *gaussiana*  e
também unidimensional.
    Essa distribuição terá uma média digamos nu e uma variância
que você diz ser sigma^2.

         Muito bem.   Vamos agora *qualitativamente* entender o que
acontece.
Quanto mais amostras você tomar, maior será a estimativa dos parâmetros
que definem a densidade (no caso sua densidade é gaussiana e os parâmetros
são média e variância).   Assim quando N --> \infty  sigma^2 --> tau^2
e nu --> mu.    Portanto  espera-se que a estimativa de sigma^2
essencialmente:

  1) Dependa de N.

  Mas como quem  *essencialmente* define a geometria da
gaussiana é a variância (no caso unidimensional)  é de se esperar
 que a estimativa de sigma^2 também:

  2) Dependa de tau^2.

   Com essas intuições vamos pensar.  sigma^2 é uma variável aleatória.
Temos que evidentemente supor que no estado "mais randômico" essa
variável tenha distribuição gaussiana.  Se N=1 então não há o que estimar:
A gaussiana tem variância zero, isto é, ela é um delta de Dirac.
      Se N=\infty  sigma^2 tem variância tau^2.

   Então sigma^2 é uma variável aleatória (função) cuja distribuição toma
valores entre
0 e tau^2 dependendo de N.   Agora eu quero uma expressão analítica
para a função (variável aleatória) sigma^2.  Bem, eu já tenho:

sigma^2 = (1/n * Sum_{i = 1}^n (X_i - mu)

   basta substituir X_i  pela sua expressão gaussiana e calcular a soma para
valores igualmente espaçados de X_i.  Esta soma dependerá de N e
(possivelmente)
de mu.
        Agora empaquei...  Mas acho que qualitativamente é isso.
        Se a variância da soma for igual à soma das variâncias então não
haverá
mu na fórmula e provavelmente
o resultado será (não fiz as contas... o sono subiu à cabeça)...

  Var(sigma^2) = (N-1) tau^2/ N

espero ter "dado a luz"...  pelo menos se eu disse algum absurdo
(como esse), alguém vai dar a luz lendo hahahaha... . :-) risos....

[]s a todos

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