Re: [obm-l] Rdicais

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Rdicais

Eu tive uma ideia pra esse problema:

Ao inves dos inteiros 1, 2, ..., 100, podemos considerar as indeterminadas x(1), x(2), ..., x(100), supostas algebricamente independentes e calcular o produto de todas as somas da forma:
+/- sqrt(x(1)) +/- sqrt(x(2)) +/- ... +/- sqrt(x(100))
 
Fixe um n no conjunto {1, 2, 3,..., 99, 100}.

As 2^100 somas podem ser agrupadas e 2^99 conjuntos, cada um dos quais com 2 elementos:
S(n,k) + sqrt(x(n))   e   S(n,k) - sqrt(x(n))
onde para 1 <= k <= 2^99, S(n,k) = soma algebrica com os sinais fixados dos outros 99 radicais.
O produto destes dois elementos eh S(n,k)^2 - x(n).

Alem disso, tomando os simetricos, obtemos mais duas somas:
-S(n,k) + sqrt(x(n))   e  -S(n,k) - sqrt(x(n)),
cujo produto tambem eh S(n,k)^2 - x(n).

Ou seja, agrupando as somas da forma descrita acima, descobrimos que o produto das 2^100 somas pode ser escrito como:
P = PRODUTO(j=1...2^98) (S(n,j)^2 - x(n))^2.

Repare que, para cada n e cada j, S(n,j) independe de x(n).
Ou seja, olhando P como uma funcao de x(n) apenas, temos que P eh, de fato, um polinomio em x(n).
Como n foi tomado arbitrariamente, concluimos que P eh um polinomio em cada uma das indeterminadas x(1), x(2), ..., x(100).
Mais ainda, podemos escrever:
P = ( PRODUTO(j=1...2^98) (S(n,j)^2 - x(n)) )^2, ou seja, P eh de fato o quadrado de um polinomio em x(1), x(2), ..., x(100).

Tratando P como uma funcao polinomial (e em particular, fazendo x(n) = n para n = 1, ..., 100) concluimos que P eh um quadrado perfeito.

[]s,
Claudio.

on 20.04.05 06:55, Cgmat at cgmat@digizap.com.br wrote:

> Como eu poderia sair desta:(foi do torneio das cidades 1997, peguei no site da olimpiada argentina)
>
> Consideram-se todas as combinações possiveis de expressoões da forma
>
> +ou-(sqrt1) +ou-(sqrt2)  +ou-(sqrt3) +ou-  ...   +ou-(sqrt100) 
>
> variando os sinais + ou - antes das raízes quadradas. Se A é o produto de todas as expressões que assim podemos formar, então:
>
> a) Mostre que A é inteiro.
> b) Mostre que A é um qurdrado perfeito.
>
> um forte abraço a todos
>
> --
> cgomes