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Re: [obm-l] trigonometria-ajuda

Nossa! Vocês são muito sofisticados pra mim.
 
Acho mais fácil ver que p(z) = z^3 - 3z - 1 tem 3 raízes reais pois:
p(-2) = -3 < 0
p(-1) = 1 > 0 ==> logo, temos uma raiz entre -2 e -1.
p(0) = -1 ==> mais uma raiz, desta vez entre -1 e 0
p(1) = -3
p(2) = 1 > 0 ==> a terceira raiz está entre 1 e 2.
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 20 Apr 2005 04:25:34 -0300
Assunto: Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
> Bom dia Nicolau:
> O que eu pensei foi:
> Pelo teorema fundamental da álgebra (tese de doutorado
> de Gauss) o corpo dos números complexos é fechado. Logo, a raiz cúbica
> de um número complexo tem que ser um número complexo.
>
> Porém para cada raiz cúbica de um número complexo dentro das
> raízes cúbicas abaixo haverá
> 6 raízes cúbicas (12 se consideramos +-) cuja combinação duas a duas
> dará 3 raízes reais (o Maple deve ter feito isso).
>
> Mas eu me lembro que o método que eu utilizei foi uma construção
> geométrica. Vou tentar fazer o exercício novamente.
> []s
> --------------------------------------------------------------------
>
> Nicolau escreveu:
>
> É fácil provar que cos(3x) = 4 cos^3(x) - 3 cos(x). Como
> cos(60 graus) = 1/2, se fizermos z = 2cos(20 graus) temos
> (z/2)^3 - 3(z/2) = 1/2 ou z^3 - 3z - 1 = 0. O gráfico em anexo,
> feito pelo maple, ajuda a ver que esta equação tem três raízes reais:
> 2 cos(20 graus) ~= 1.879385242, 2 cos(140 graus) ~= -1.532088886
> e 2 cos(260 graus) ~= -0.3472963553. De fato, se x = 140 graus
> então cos(3x) = cos(420 graus) = cos(60 graus). Se pedirmos
> para o maple resolver a cúbica, ele dá
>
> 1/2 1/3
> (4 + 4 I 3 ) 2
> ----------------- + -----------------
> 2 1/2 1/3
> (4 + 4 I 3 )
>
> e outras duas raízes com expressões mais complicadas.
>
> ------------------------------------------------------------------
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>