Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2()Caso Geral

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Sobre a definicao que eu dei, cos x e uma formula
fechada: eu nao preciso calcular cos (x-1) para saber
cos x. E uma ideia meio equivocada mas nao ha nada que
impeca.

 --- Bernardo Freitas Paulo da Costa
<bernardofpc@gmail.com> escreveu: 
> Bom, acho que tem algo a ver com os números de
> Bernoulli (que não têm
> fórmula fechada, mas quem disse que cos(x) é uma
> "fórmula fechada"??
> (Isso foi para provocar...)
> 
> O truque é que estes números relacionam-se com a
> expansão de n^k em
> somas de binomiais da forma n^k = SOMA {em j} C(n,
> j) * B(k, j) (ou
> algo parecido, pode ter um k-j em vez de j). Daí,
> como eu falei numa
> mensagem anterior, é só usar a soma das colunas.
> 
> Maiores detalhes, você pode encontrar no "Concrete
> Mathematics",
> R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik.
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> 
> On Apr 9, 2005 11:21 AM, Johann Peter Gustav Lejeune
> Dirichlet
> <peterdirichlet2003@yahoo.com.br> wrote:
> > Existe alguma especie de formula fechada para o
> caso
> > geral? Ou seja, calcular as k-esimas potencias dos
> n
> > primeiros naturais, em funcao de n e k.
> > 
> > --- "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
> > wrote:
> > > On Tue, Apr 05, 2005 at 02:02:34PM -0300,
> > > claudio.buffara wrote:
> > > > Ontem alguém perguntou aqui na lista como se
> > > demonstrava a fórmula da soma
> > > > dos quadrados dos primeiros n inteiros
> positivos.
> > >
> > > Oi Claudio, achei bem legal a sua demonstração.
> > >
> > > Na verdade este assunto já foi discutido várias
> > > vezes nesta lista
> > > e pode valer a pena dar uma olhada nos arquivos.
> > >
> > > Seja f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Podemos
> definir f
> > > também como
> > > a única função de Z em Z que satisfaz f(0) = 0,
> f(n)
> > > = f(n-1) + n^2.
> > >
> > > É fácil ver que f é um polinômio de grau 3. De
> fato,
> > > considere a
> > > seguinte transformação linear: T(a,b,c) =
> (d,e,f)
> > > se, sendo
> > > g(n) = an^3 + bn^2 + cn, tivermos g(n) - g(n-1)
> =
> > > dn^2 + en + f.
> > > A transformação linear T é bem definida pois os
> > > termos de grau 3
> > > se cancelam; T também é injetora, pois g(n) -
> g(n-1)
> > > = 0 para todo n
> > > implica que g é constante logo, como não há
> termos
> > > constante em g,
> > > temos g = 0. Assim T é inversível. Note que o
> mesmo
> > > raciocínio
> > > demonstra que se h é um polinômio de grau k e se
> g
> > > satisfaz
> > > g(n) = g(n-1) + h(n) então g é polinômio de grau
> > > k+1.
> > >
> > > Agora escrevendo f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d,
> f(0) =
> > > 0, f(1) = 1,
> > > f(2) = 5, f(3) = 14 temos um sisteminha 3x3:
> > >   a +  b +  c =  1
> > >  8a + 4b + 2c =  5
> > > 27a + 9b + 3c = 14
> > > e podemos facilmente achar a, b e c.
> > >
> > > Mas acho mais elegante neste caso ver quais são
> as
> > > raízes de f.
> > > Claramente temos f(0) = f(-1) = 0. Note que
> f(-2) =
> > > - (-1)^2 = -f(1),
> > > f(-3) = - (-1)^2 - (-2)^2 = -f(2), ...,
> > > f(-1-n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (-n)^2 =
> -f(n).
> > > Temos assim f(-1-n) = -f(n) donde f(-1/2) = 0, a
> > > terceira raiz.
> > > Assim f(n) = cn(n+1)(2n+1). Uma substituição
> obteria
> > > o valor de c,
> > > mas prefiro fazer f(n) ~= int_0^n t^2 dt = 1/3
> n^3
> > > donde c = 1/6.
> > >
> > > []s, N.
> > >
> >
>
=========================================================================
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > > usar a lista em
> > >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
> >
>
=========================================================================
> > >
> > 
> > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis.
> > Instale o discador agora!
> http://br.acesso.yahoo.com/
> >
>
=========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
=========================================================================
> >
> 
>
=========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=========================================================================
>  


	
	
		
Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. 
Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================