Re: [obm-l] Pontos de Inflexao

[Eduardo Wilner <eduardowilner@xxxxxxxxxxxx>]

   Boa esta dica, Claudio.

   Escolhendo o eixo dos y (origem de x) tal que se 
anule o termo de segundo grau e o dos x (origem de y)
tal que anule o termo indepenente, teremos um dos
pontos de inflexão na origem, pois teremos

  y = x^4 + b*x^3 + c*x (podemos sempre tornar o
polinômio mônico),

  e anulando a derivada segunda teremos a equacao que
fornece as abcissas dos pontos de inflexao, como

  12*i^2 + 6b*i = 0 ,obtendo i1=0 e i2=-b/2  (se
quizermos i1<i2, consideramos b<0, mas nao vejo
necessidade!?).

   É trivial achar a equação da reta definida por
eles:

   8y = (b^3+8c)x .

   Acho melhor deixar o resto para a os demais
usufruirem tambem um pouco da diversao, pois o
problema eh bem interessante.


   []s
  Wilner

  
    
--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> Aqui vai um resultado curioso:
> 
> Seja p(x) um polinomio de grau 4 com dois pontos de
> inflexao, cujas
> abscissas sao i1 e i2 com i1 < i2.
> Seja r a reta que passa por estes dois pontos.
> Prove que esta reta intersecta o grafico de p(x) em
> dois outros pontos, de
> abscissas x1 e x2 tais que x1 < i1 < i2 < x2 e que:
> (i2-i1)/(i1-x1) = (i2-i1)/(x2-i2) = K, onde K eh uma
> constante que independe
> de p(x) (desde que este tenha dois pontos de
> inflexao).
> Quanto vale K?
> 
> Dica: este eh um daqueles problemas onde uma mudanca
> de coordenadas adequada
> ajuda muito. Ou seja, s.p.d.g. voce pode supor que
> p(x) tem uma forma muito
> simples.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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