Re:[obm-l] Geometria

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

É fácil ver que, para qualquer P no interior do triângulo, vale:

ax + by + cz = 2A, onde A = área do triangulo.

 

Você quer o valor mínimo de F(x,y,z) = a/x + b/y + c/z.

 

2A*F(x,y,z) =

(ax + by + cz)*(a/x + b/y + c/z) =

a^2 + b^2 + c^2 + ab(x/y + y/x) + ac(x/z + z/x) + bc(y/z + z/y) >=

a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc =

(a + b + c)^2.

 

Acima eu usei a desigualdade bem conhecida z + 1/z >= 2 se z > 0, com igualdade <==> z = 1.

 

Logo, o valor mínimo de 2AF(x,y,z) (e, portanto, de F(x,y,z)) ocorre quando x/y = y/z = x/z = 1, ou seja, quando x = y = z <==> P é o incentro.

 

O valor mínimo de F(x,y,z) é igual a (a + b + c)^2/(2A).

 

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

"Lista OBM" obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Mon, 4 Apr 2005 07:34:58 -0300

Assunto:

[obm-l] Geometria

>   Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam x, y e z as distâncias de P aos lados de comprimentos a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/x)+(b/y)+(c/z) ocorre quando P é o incentro do triângulo.

>  

>    Desde já agradeço!!!