Re:[obm-l] Problema do Kuratowski

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Oi Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

A maior cardinalidade possivel e 14. Voce nao precisa seguir uma sequencia, 
pode seguir por dois ou mais bracos a partir de A.  Mas eu estou mais 
interessado em uma solucao inteligente, nao bracal. Eu nao consegui 
encontra-la uma tal solucao.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,2144,020405


>From: "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
>Date: Sat,  2 Apr 2005 18:35:55 -0300
>
>Oi, Paulo:
>
>Imagino que o que você queira é gerar, a partir de A_1 = A, por sucessivas 
>aplicações de F ou C, uma sequência de conjuntos A_1, A_2, ...,
>tal que:
>i) A_(n+1) = F(A_n)  ou  A_(n+1) = C(A_n)
>e
>ii) a família {A_1, A_2, ...} tenha a maior cardinalidade possível.
>
>Eu acho que a maior cardinalidade possível é 8.
>Minha explicação segue abaixo.
>
>Como, para todo X, F(F(X)) = F(X) e C(C(X)) = X, a única chance de obtermos 
>um conjunto "inédito" é aplicando alternadamente C e F.
>
>Por exemplo, se A_1 = A = União(n em Z) [2n-1,2n], então F(A) = A.
>Assim, fazemos:
>A_2 = C(A_1) = C(A) = União(n em Z) (2n,2n+1) ==>
>A_3 = F(A_2) = F(C(A)) = União(n em Z) [2n,2n+1] ==>
>A_4 = C(A_3) = C(F(C(A))) = União(n em Z) (2n-1,2n) ==>
>A_5 = F(A_4) = F(C(F(C(A)) = União(n em Z) [2n-1,2n] = A_1.
>Logo, a partir de A obtivemos uma família de cardinalidade 4.
>
>Começando com qualquer A contido em R se, em algum ponto, aplicarmos F e 
>depois C, obteremos C(F(A)), um subconjunto aberto de R, o qual se expressa 
>de maneira única como uma reunião no máximo enumerável de intervalos 
>abertos dois a dois disjuntos.
>
>Se os fechos desses intervalos forem disjuntos dois a dois, então cairemos 
>numa situação como a do exemplo acima. Logo, a idéia é adiar ao máximo a 
>aparição de um aberto cujo fecho seja uma união de intervalos fechados 
>(degenerados ou não) disjuntos dois a dois.
>
>Por exemplo, se tivermos:
>A_1 = (a,b) união (b,c), com a < b < c, então:
>A_2 = F(A_1) = [a,c]
>A_3 = C(A_2) = (-inf,a) união (c,+inf)
>A_4 = F(A_3) = (-inf,a] união [c,+inf)
>A_5 = C(A_4) = (a,c)
>A_6 = F(A_5) = [a,c] = A_2 ==>
>obtivemos uma família de cardinalidade 5.
>
>Esse exemplo mostra que se algum A_k for uma reunião de intervalos abertos 
>cujos fechos não são disjuntos, teremos A_(k+1) = F(A_k) = união de 
>intervalos fechados disjuntos (cada dois intervalos abertos cujos fechos se 
>intersectam se fundirão num único intervalo fechado contendo ambos e, 
>possivelemnte, mais outros intervalos abertos).
>
>A partir desse ponto, o primeiro exemplo mostra que geraremos apenas mais 
>três conjuntos inéditos - A_(k+2), A_(k+3) e A_(k+4). Teremos 
>necessariamente A_(k+5) = A_(k+1).
>
>A seguir, partimos de A, uma união de intervalos abertos cujos fechos não 
>sejam disjuntos e tentamos obter o maior número possível de termos 
>anteriores a A na sequência.
>
>Por exemplo, quem seria o antecessor de A = (-1,0) união (0,1)?
>Como este conjunto é aberto, só pode ter sido obtido como complementar de 
>algum conjunto B.
>Naturalmente, B = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf).
>B é o fecho de algum C, por exemplo, C = (-inf,-1) união {0} união 
>(1,+inf).
>Finalmente, C é o complementar de D = [-1,0) união (0,1].
>Não podemos voltar mais, pois D não é fechado e, portanto, não é fecho de 
>ninguém. D é o complementar de C, o que não adiciona nenhum conjunto 
>inédito. Logo, a sequência começa com D. Chamando este D de A_1, teremos:
>
>A_1 = [-1,0) união (0,1]
>A_2 = C(A_1) = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
>A_3 = F(A_2) = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf)
>A_4 = C(A_3) = (-1,0) união (0,1)
>A_5 = F(A_4) = [-1,1]
>A_6 = C(A_5) = (-inf,-1) união (1,+inf)
>A_7 = F(A_6) = (-inf,-1] união [1,+inf)
>A_8 = C(A_7) = (-1,1)
>A_9 = F(A_8) = [-1,1] = A_5 ==>
>cardinalidade = 8.
>
>[]s,
>Claudio.
>
>De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Cópia:
>
>Data:Sat, 02 Apr 2005 19:10:51 +0000
>
>Assunto:[obm-l] Problema do Kuratowski
>
> > Ola Pessoal,
> >
> > O problema abaixo e interessante e foi descoberto pelo Kuratowski :
> >
> > Seja A contido em R ( numeros reais ) um conjunto. Representaremos por 
>F(A)
> > o fecho de A e por
> > C(A) o complemento de A. EXIBA um A tal que a sucessiva aplicacao 
>composta
> > de F's e C's fornece a quantidade maxima de conjunto dois a dois 
>distintos.
> >
> > SUGESTAO : Como claramente F(F(A)) e C(C(A)) retornan, entao parta de
> > F(C(A)) e C(F(A)). Use entao A e sua fronteira, fr(A), e mostre que 
>mesmo
> > assim as reiteradas aplicacoes retornam, vale dizer, sao periodicas. 
>Depois
> > estude os sucessivos tipos topologicos de A.
> >
> > O problema nao e dificil ( a sugestao acima e baseada na minha ideia ) 
>mas
> > eu nao consegui encontra uma solucao elegante e sintetica.
> >
> > Um Abraco a Todos !
> > Paulo Santa Rita
> > 7,1609,020405
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