Re:[obm-l] Principio das Gavetas

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Tue, 29 Mar 2005 08:44:28 -0300

Assunto:

[obm-l] Principio das Gavetas

> Aproveitando a oportunidade, gostaria de uma sugestão no problema

> seguinte: "Prove que em qualquer seqüência de 39 números naturais

> consecutivos existe ao menos um número cuja soma dos algarismos é

> divisível por 11."

> []s,

> Márcio.

A afirmativa não é verdadeira.

Contra-exemplo:

38999981, 38999982, ..., 39000019.

Por outro lado, acho que com 40 naturais consecutivos o resultado é verdadeiro.

Minha idéia foi considerar o termo da sequência que termina com o maior número possível de algarismos 9 (digamos k algarismos 9, com k >= 1).

Chamando este termo de N e a soma de seus algarismos de S(N), eu descobri o contra-exemplo no caso em que S(N) == 10 e k == 6 (mod 11).

O seguinte lema (fácil de provar) foi útil:

Se N é um número natural que termina por k algarismos 9 (k >= 0) e se S(N) é a soma dos algarismos de N, então S(N+1) = S(N) - 9k + 1.

[]s,

Claudio.