[obm-l] Ideais maximais 2

[Eric Campos <mathfire2001@xxxxxxxxxxxx>]

Resolvi esta questao e gostaria de saber se minha
solucao esta certa e se ha uma solucao mais rapida...
Eh uma especie de reciproca da questao que surgiu
recentemente na lista sobre ideais maximais.

QUESTAO:
Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
definidas em [0,1] com as operacoes
soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
Prove que se M eh ideal maximal de A entao
existe a em [0,1] tal que
M=I, onde I={f em A:f(a)=0}

SOLUCAO:
1. A=C[0,1]
2. M eh ideal maximal de A
3. I eh ideal maximal de A
   (provado recentemente na lista)
4. M+I eh ideal de A
5. I C M+I C A
   (C significa esta contido)
6. M C M+I C A
7. ou (a) M+I=I
   ou (b) M+I=M
   ou (c) M+I=A

(a) M+I=I
1a. M C I C A (de 6. e (a))
2a. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
3a. I <> A (pois I eh maximal)
     (<> significa diferente)
4a. I = M (de 2a. e 3a.)
OK

(b) M+I=M
1b. I C M C A (de 5. e (b))
2b. M = I ou M = A (pois I eh maximal)
3b. M <> A (pois M eh maximal)
4b. M = I (de 2b. e 3b.)
OK

(c) M+I=A
1c. A/I eh corpo
  (pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal)
2c. ou (ca) M C I
    ou (cb) M C/ I (C/ significa nao esta contido)

(ca) M C I
1ca. M C I C A (de ca.)
2ca. I = M ou I = A 
     (pois M eh maximal)
3ca. I <> A (pois I eh maximal)
4ca. I = M (de 2ca. e 3ca.)
OK

(cb) M C/ I
1cb. Tome f em M-I
2cb. Existe g em A-I, fg=gf=1_A (funcao cte. 1)
     (pois A/I eh corpo e de 1cb.)
3cb. fA C M (de 1cb e porque M eh ideal)
4cb. fg estah em M (de 3cb.)
5cb. 1_A estah em M (de 4cb. e 2cb.)
6cb. (1_A)I C M (de 5cb. e porque M eh ideal)
7cb. I C M (de 6cb.)
8cb. M+I=M (de 7cb.)
9cb. M+I=A (de (c))
10cb. M = A (de 8cb. e 9 cb.)
11cb. M <> A (pois M e maximal)
12cb. ABSURDO (de 10cb. e 11cb.)
13cb. M C I (de (cb) e 12cb.)
14cb. M = I (de 13cb., ca. e 4ca.)

Uff...

[]'s

Eric.




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