Re: [obm-l] ideais maximais

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Faltou um detalhe trivial mas importante: provar que J eh de fato um ideal.

***

A reciproca eh mais legal.

Seja M um ideal maximal de C([0,1]).

Se f pertence a M entao, para algum x em [0,1], devemos ter f(x) = 0.
Caso contrario, 1/f pertenceria a C([0,1]) e, portanto, 1 = (1/f)*f
pertenceria a M, forcando M a ser igual a C([0,1]) ==> contradicao.

Agora, suponhamos que, para cada a em [0,1], existe alguma funcao f_a em M
tal que f_a(a) <> 0. Seja g_a = (f_a)^2 (ou seja, g_a(x) = (f_a(x))^2 para
todo x em [0,1]). 

Eh claro que g pertence a M e g_a(a) > 0.
Como g_a eh continua, existe eps_a > 0 tal que, para todo x no intervalo
aberto I_a de centro a e raio eps_a, g_a(x) > 0.

Tambem eh claro que [0,1] eh coberto por Uniao(a em [0,1]) I_a.
Como [0,1] eh compacto, esta cobertura aberta admite uma subcobertura finita
I_a1 uniao I_a2 uniao ... uniao I_an.
Sejam g_a1, g_a2, ..., g_an as funcoes g correspondentes aos I_ai.
Entao h = g_a1 + g_a2 + ... + g_an pertence a M e eh tal que h(x) > 0 para
todo x em [0,1] ==> contradicao.

Logo, existe z em [0,1] tal que, para toda f em M, f(z) = 0.

***

Se M eh um ideal maximal, entao o anel quociente C([0,1])/M eh um corpo.
Que corpo eh esse?

***

A demonstracao acima fura se o anel for C((0,1)), pois (0,1) nao eh
compacto. Quais sao os ideais maximais de C((0,1))?

[]s,
Claudio.

on 18.03.05 19:03, kleinad@webcpd.com at kleinad@webcpd.com wrote:

> Lista OBM (obm_lista@yahoo.com.br) escreveu:
>> 
>> Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1],
>> com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) =
>> f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o
>> conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que
>> f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal.
> 
> Tome um ideal I contendo J, I diferente de J, isto é, existe h em I tal que h
> (1/2) <> 0. Então f(x) = h(x) - h(1/2) está em I, logo f(x) - h(x) = h(1/2)
> <> 0 está em J. Como h(1/2) é escalar não nulo, segue que 1 está em J, logo
> J = C([0,1]).
> 
> Vale também a recíproca: No anel C([0,1]), um ideal M é maximal se e somente
> se M é o conjunto das funções que se anulam num certo z, 0 <= z <= 1.
> 
> []s,
> Daniel
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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