[obm-l] R^N ~ R

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Lembrei da demonstracao de que R^N tem a mesma cardinalidade de R.

Sabemos que: 
R ~ 2^N (conjunto das funcoes de N em {0,1})
e 
N ~ NxN (conjunto dos pares ordenados de numeros naturais).

Logo, R^N ~ (2^N)^N ~ 2^(NxN) ~ 2^N ~ R.

Explicitamente, as bijecoes f: R -> 2^N  e  g: N -> NxN
induzem as bijecoes:
F: R^N -> (2^N)^N  e  G: 2^N -> 2^(NxN),
dadas por:
F(a_1, a_2, a_3, ...) = (f(a_1), f(a_2), f(a_3), ...)
e
G(n_1, n_2, n_3, ...) = (g(n_1), g(n_2), g(n_3), ...)

F eh injetiva, pois:
F(a_1, a_2, ...) = F(b_1, b_2, ...) ==>
f(a_i) = f(b_i) para i = 1, 2, ... ==>
a_i = b_i para i = 1, 2, ... (jah que f eh injetiva) ==>
(a_1, a_2, ...) = (b_1, b_2, ...)

F eh sobrejetiva, pois:
dado (b_1, b_2, ...) em (2^N)^N, existem a_1, a_2, ... em R tais que b_1 =
f(a_1), b_2 = f(a_2), ... pois f eh sobrejetiva.
Logo, (b_1, b_2, ... ) = (f(a_1), f(a_2), ...) = F(a_1, a_2, ...).

Analogamente para G.

Agora definimos uma bijecao H: 2^(NxN) -> (2^N)^N da seguinte forma:
Seja s: NxN -> {0,1} uma funcao.
Seja (s_1, s_2, s_3, ...) uma sequencia cujos termos sao funcoes de N em
{0,1} definidas por s_i(j) = s(i,j)
Fazemos H(s) = (s_1, s_2, s_3, ...)

H eh injetiva pois:
H(s) = H(t) ==>
(s_1, s_2, ...) = (t_1, t_2, ...) ==>
s_i = t_i para i = 1, 2, ... ==>
s_i(j) = t_i(j) para i = 1, 2, ... e j = 1, 2, ... ==>
s(i,j) = t(i,j) para i = 1, 2, ... e j = 1, 2, ... ==>
s = t

H eh sobrejetiva pois:
Dada (s_1, s_2, ...) em (2^N)^N, tomamos s em 2^(NxN) tal que:
s(i,j) = s_i(j) e, neste caso eh claro que H(s) = (s_1, s_2, ...).


Pra terminar eh soh reparar que a composta:
F^(-1) o H o G o f: R -> R^N eh uma bijecao.
 

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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