[obm-l] Indução

[Marcio M Rocha <ddcristo@xxxxxxxxxx>]

Boa noite, pessoal.
A questão abaixo também consta do Vol. 1 de "A Matemática do Ensino Médio". 
Ela tem duas partes, das quais fiz a primeira. Gostaria de pedir que alguém 
verificasse se está tudo OK.

Parte 1) Prove que ((n + 1)/n) elevado a n <=n para todo n>=3.

Para n = 3 temos (4/3)³ <=3

Solução
Supondo verdadeira para algum k>3:

((k + 1)/k) elevado a k <=k

Multiplico a desigualdade acima por ((k + 1)/k) e obtenho

((k + 1)/k)elevado a (k + 1) <= k + 1

Só que quando k > 3, (k + 2)/(k + 1) <= (k + 1)/k, e daí:

((k + 2)/(k + 1)) elevado a (k + 1) < = ((k + 1)/k) elevado a (k + 1)

Logo (((k + 1) + 1)/(k + 1)) elevado a (k + 1) <= k + 1

Parte 2) Use esse fato para mostrar que a seqüência

1, 2¹/2, 3¹/3, 4¹/4, ...

é decrescente a partir do 3o termo.

Esta parte ainda está saindo.

Desculpem se são questões triviais para vocês.

Abraços.

Márcio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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