[obm-l] Infimo e Integrais

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 17.03.05 11:41, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:
> 
> Seja f:R->R uma funcao e S um conjunto qualquer, nao vazio. Para cada x em R
> definimos
> f(x)=INFIMO{|s-x|, s variando em S}. Prove que f:R->R e continua
> 
Um bom problema eh calcular INTEGRAL(0..1) f(x)dx quando S eh o conjunto de
Cantor. A integral existe pois f eh continua e, portanto, integravel.

Ou entao, INTEGRAL(0..+infinito) f(x)dx quando S = {0} uniao {a_n | n em N}
onde a_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n = n-esima reduzida da serie harmonica.
Se eu nao errei nas contas, essa eh mais uma aparicao inesperada de Pi,
dessa vez num contexto onde talvez o numero "e" fosse mais provavel, dado
que a serie harmonica eh intimamente relacionada ao logaritmo natural.

Um lema util eh o seguinte:
Se a e b (a < b) pertencem a S mas S inter (a,b) = vazio, entao:
Integral(a..b) f(x)dx = (b - a)^2/4.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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