Re: [obm-l] RE: [obm-l] Voltando à lista

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 17.03.05 11:41, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:

> 
> Seja f:R->R uma funcao e S um conjunto qualquer, nao vazio. Para cada x em R
> definimos
> f(x)=INFIMO{|s-x|, s variando em S}. Prove que f:R->R e continua
> 
Obviamente, f(x) >= 0, para todo x em R.

Sejam a real e eps > 0.

Se a pertence a fecho(S), entao f(a) = inf{|s - a|, s em S} = 0.
Nesse caso, todo intervalo centrado em a contem algum ponto de s.
Tomemos portanto o intervalo (a - eps/2,a + eps/2).
Se x pertence a (a - eps/2,a + eps/2), entao, para todo elemento s de S
contido nesse intervalo vale |x - s| < eps e, portanto, f(x) < eps.

Assim, neste caso, se tomarmos delta = eps/2, teremos que:
x em (a - delta,a + delta) ==> f(x) = |f(x) - f(a)| < eps.


Se a nao pertence a fecho(S), entao f(a) > 0.
Seja delta = min{eps/2,f(a)} > 0.
O intervalo (a - delta,a + delta) nao contem nenhum ponto de S, pois s fosse
um tal ponto, teriamos f(a) <= |s - a| < delta <= f(a), uma contradicao.
Alem disso, para todo x nesse intervalo e todo s em S, vale:
|s - x| = |s - a + a - x| <= |s - a| + |x - a| < |s - a| + delta.
Portanto, inf{|s - x|, s em S} <= inf{|s - a|, s em S} + delta ==>
f(x) <= f(a) + delta   (*).
Tambem eh verdade que:
|s - a| <= |s - x| + |x - a| < |s - x| + delta ==>
inf{|s - a|, s em S} <= inf{|s - x|, s em S} + delta ==>
f(a) <= f(x) + delta   (**).
Ou seja, (*) e (**) ==>
f(a) - delta <= f(x) <= f(a) + delta ==>
|f(x) - f(a)| <= delta <= eps/2 < eps, para todo x tal que |x - a| < delta.


[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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