Re: (x+1)^p - x^p - 1 Era:[obm-l] Problemas diversos

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Detalhes apenas...
1- Se alguem ai nao sabe binomio de Newton (algo
perdoavel para uma oitava serie, e preciso
reconhecer), basta calcular no braco!
2- Algo assim ja esteve na IMO...


--- Marcio M Rocha <ddcristo@bol.com.br> wrote:
> Valeu pela ajuda nas duas questões, Cláudio.
> 
> Nessa questão específica eu não queria usar o
> binômio porque ela consta 
> de uma prova de 8a série. Mas, pelo visto, não tem
> jeito...
> 
> Obrigado também pela dica do programa.
> 
> Márcio.
> 
> claudio.buffara wrote:
> 
> >  
> > *De:* 	owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > *Para:* 	"obm-l@mat.puc-rio.br"
> obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > *Cópia:* 	
> >
> > *Data:* 	Sat, 12 Mar 2005 12:16:17 -0300
> >
> > *Assunto:* 	[obm-l] Problemas diversos
> >
> > > Boa tarde a todos!
> > >
> > > Gostaria de uma ajuda com os seguintes problemas
> (não é necessário
> > > resolver, só uma idéia já é o bastante)
> > >
> > > 1) Se é que é possível, como fatorar (x + y)^7 -
> x^7 - y^7 sem usar
> > > expansão binomial?
> > >
> > Eu diria que eh possivel, mas usando o binomio e
> um pouquinho de 
> > braco, chega-se a fatoracao
> 7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2.
> >  
> > Alias, isso me fez pensar nos polinomios F_p(x) =
> (x+1)^p - x^p - 1, 
> > com p primo.
> >  
> > Para p = 2, 3 e 5, as fatoracoes sao faceis.
> Respectivamente:
> > 2x, 3x(x+1) e 5x(x+1)(x^2+x+1).
> > Para p = 7 eh soh usar o resultado acima:
> 7x(x+1)(x^2+x+1)^2.
> >  
> > Usando o Pari-GP - que alias estah com um upgrade
> facilimo de se 
> > intalar (veja o site:
> http://pari.math.u-bordeaux.fr/download.html e 
> > instale isso aqui:
> >
> >
> >       Binary distributions (development)
> >
> >     * Self-installing *Windows* binary:
> |Pari-2-2-9.exe|
> >      
>
<http://pari.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/windows/Pari-2-2-9.exe>,
> >        |5431 KBy, Dec 22 19:09:49 2004|
> >       |md5sum: 91c43064500b0d3f9e462dcef70dc6fe
> Pari-2-2-9.exe |
> >
> > eu cheguei ao seguinte resultado empirico:
> >
> > F_p(x) = p*x*(x+1)*(x^2+x+1)^n*G(x), onde G(x) eh
> um polinomio 
> > irredutivel sobre Q e n = 1 ou 2, dependendo de p.
> Mais precisamente:
> >
> > n = 1 se p = 5, 11, 17, 23, 29 e 41
> >
> > n = 2 se p = 7, 13, 19, 31, 37 e 43
> >
> > Perguntas:
> >
> > 1) A fatoracao acima ocorre para cada primo p ou
> serah que G(x) eh 
> > redutivel para algum p?
> >
> > 2) Os primos para os quais n = 1 sao justamente os
> primos da forma 6k-1?
> >
> >  
> >
> > []s, Claudio.
> >
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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