(x+1)^p - x^p - 1 Era:[obm-l] Problemas diversos

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

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"obm-l@mat.puc-rio.br" obm-l@mat.puc-rio.br

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Sat, 12 Mar 2005 12:16:17 -0300

Assunto:

[obm-l] Problemas diversos

> Boa tarde a todos!

>

> Gostaria de uma ajuda com os seguintes problemas (não é necessário

> resolver, só uma idéia já é o bastante)

>

> 1) Se é que é possível, como fatorar (x + y)^7 - x^7 - y^7 sem usar

> expansão binomial?

>

Eu diria que eh possivel, mas usando o binomio e um pouquinho de braco, chega-se a fatoracao 7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2.

 

Alias, isso me fez pensar nos polinomios F_p(x) = (x+1)^p - x^p - 1, com p primo.

 

Para p = 2, 3 e 5, as fatoracoes sao faceis. Respectivamente:

2x, 3x(x+1) e 5x(x+1)(x^2+x+1).

Para p = 7 eh soh usar o resultado acima: 7x(x+1)(x^2+x+1)^2.

 

Usando o Pari-GP - que alias estah com um upgrade facilimo de se intalar (veja o site: http://pari.math.u-bordeaux.fr/download.html e instale isso aqui:

Binary distributions (development)

• Self-installing Windows binary: Pari-2-2-9.exe,  5431 KBy, Dec 22 19:09:49 2004
md5sum: 91c43064500b0d3f9e462dcef70dc6fe Pari-2-2-9.exe
  

eu cheguei ao seguinte resultado empirico:

F_p(x) = p*x*(x+1)*(x^2+x+1)^n*G(x), onde G(x) eh um polinomio irredutivel sobre Q e n = 1 ou 2, dependendo de p. Mais precisamente:

n = 1 se p = 5, 11, 17, 23, 29 e 41

n = 2 se p = 7, 13, 19, 31, 37 e 43

Perguntas:

1) A fatoracao acima ocorre para cada primo p ou serah que G(x) eh redutivel para algum p?

2) Os primos para os quais n = 1 sao justamente os primos da forma 6k-1?

 

[]s, Claudio.