Re: [obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO IME

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Eu nao gosto deste tipo de demonstracao. E apelativa
demais! E nao tem nada de la muito formal nela: com
raciocinios semelhantes em outros tipos de problema, e
sempre muito facil chegar em absurdos.

Um jeito bem interessante e, de certo modo, esperto, e
resolver a situacao geral:

sqrt(a - sqrt(a - x)) = x, em que a e qualquer real
"valido".
Em vez de resolver em x, por que nao resolver em a?

sqrt(a - sqrt(a - x)) = x
a - sqrt(a - x) = x^2
a-x^2 = sqrt(a-x)
a-x = (a-x^2)^2
a-x = a^2 - (2x^2)a + x^4
a^2 - (2x^2+1)a + (x^4 + x) = 0
(a-(x^2 + x))*(a-(x^2-x+1)) = 0
E agora e so resolver em x! Verifica quando os
parenteses se anulam, resolve cada uma e pronto! 

 



 --- Murilo Rebouças Fernandes de Lima
<mrllima@terra.com.br> escreveu: 
> sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x.
> sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - x)))) = x.
> sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5
> - x)))))) = x.
> sqrt(5 - sqrt(5 - ... )) = x.
> sqrt(5 - ...) = x.
> sqrt(5 - x) = x.
> 5 - x = x^2
> x^2 + x - 5 = 0
> 
> (Resolveu. Equacao do segundo grau.)
> 
> A tecnica consiste em substituir o valor de x
> infinitamente pela expressão 
> que o equivale. Ate vc perceber q todas as parcelas
> de {sqrt(y)} podem ser 
> equivalente a x. Onde y sao as substituicoes
> infinitas.
> 
> 
> 
> ---- Original Message ----- 
> From: "Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" 
> <peterdirichlet2003@yahoo.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, February 23, 2005 11:19 PM
> Subject: Re: [obm-l] QUESTÃO DO IME
> 
> 
> > raiz quadrada de {5 - raiz quadrada de (5-x) }=x,
> >
> > (5-(5-x)^1/2)^1/2 = x
> >
> > Se x = (5-x)^1/2 entao x e solucao.Ou seja,
> > x^2 + x - 5 = 0
> > Tente resolver esta equacao.
> > Depois disso, abra a expressao original:
> > x^2 = 5 - (5-x)^1/2
> > (x^2 - 5)^2 = 5-x
> > x^4 - 10x^2 + x + 20 =0
> > Basta escrever x^4 - 10x^2 + x + 20 como o produto
> de
> > x^2 + x - 5 com outro polinomio. Voce fica com a
> parte
> > bracal e depois confira que solucoes sao validas.
> >
> > Ha talvez um modo de resolver com trigonometria
> mas
> > hoje nao to a fim...
> >
> >
> > --- Plutao2004@aol.com escreveu:
> >>
> >> Qual é a saída?
> >> Resolva:
> >> raiz quadrada de {5 - raiz quadrada de (5-x) }=x,
> >> com x positivo.
> >>
> >
>
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> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> >> usar a lista em
> >>
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >>
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> usar a lista em
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