Re: [obm-l] Listinha boa!!

[Fábio Dias Moreira <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

[21/2/2005, viniciusmeirelesa@bol.com.br]:
> 1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se no cemtro do
> fundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços da
> granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não
> ultrapassam Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deverá
> ser o diametro minimo d do poço?

Suponha que um estilhaço sai com velocidade inicial que forma um
ângulo w com o plano do fundo do poço. Sejam x_1 e x_2 os
deslocamentos horizontais nos pontos onde o estilhaço está acima da
superfície da terra. Seja ainda r = d/2.

Afirmação: Nenhum estilhaço cai fora do poço se e somente se r > x_1 e
r > x_2 para todos os possíveis x.

Demonstração: A volta da propsição é bem óbvia -- neste caso, os
estilhaços voam acima da superfície mas não tem potência suficiente
para cair fora do poço. Além disso, se x_1 < r < x_2, o estilhaço
efetivamente cai na superfície. Resta estudar o caso onde r < x_1 e r
< x_2, que é o caso onde o estilhaço bate na parede do poço. Mas neste
caso, aumentar o valor de w aumenta a altura máxima e reduz o alcance
do estilhaço. Como, para w = pi/2, x_1 = x_2 = 0, pelo TVM, existe w
tal que x_1 < r < x_2, logo algum estilhaço cai fora do poço.

Fixando o referencial no fundo do poço, temos que a equação do
movimento é

x(t) = t * v_0 * cos w
y(t) = t * v_0 * sen w - g * t^2 / 2.

Então x_1 e x_2, se existirem, são as raízes de y(t) = H.
Convencionando x_1 < x_2, é fácil ver que

x(t_2) = [v_0 * cos w / g]*[v_0 * sen w + sqrt(v_0^2 * sen^2 w - 2 * g
* H)].

Chamando k^2 de 2*g*H/v_0^2, o nosso problema se reduz a achar o máximo
de

cos w*[sen w + sqrt(sen^2 w - k^2)]. Esse máximo será o valor de r.
Como 0 < w < pi/2, os extremos não maximizam a função e cos w = sqrt(1
- sen^2 w). Chamando sen w de u (logo 0 < u < 1), temos que maximizar

sqrt(1 - u^2)*(u + sqrt(u^2 - k^2)).

Apesar que eu não fiz a conta, não parece ser muito fácil achar esse
máximo -- igualar a derivada a zero na mão é impraticável.

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira

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