RES: [obm-l] limites

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Isso eh uma consequencia da definicao de limite. Se c = g(b), entao g eh
continua em b e estah tudo OK. 
Mas se g nao for definida em b ou g for definida mas descontinua em b (caso
em que g(b)<>c), entao sao necessarias algumas hipoteses adicionais para
garantir que lim(x tende a a)g(f(x))= c. Isto talvez fique mais claro
atraves de um exemplo. Definamos f(x) = x*sen(1/x) para x<>0 e g(y) =
sen(y)/y para y<>0. Entao f nao eh definida em x=0, mas lim (x->0) f(x) =0.
g tambem nao eh definida em y =0, mas lim(y -> 0) g(y) =1. Observamos ainda
que f se anula em qualquer vizinhanca deletada de x=0 (isto eh qualquer
vizinhanca de x=0 exclusive o proprio 0), de modo que em qualquer destas
vizinhancas deletadas existem uma infinidade de valores para os quais g(f)
= g o f nao eh definida. Assim , pela definicao de limite, temos que nao
existe lim (x->0) g(f)x).  Da mesma forma, este limite continua nao
existindo se definirmos g(0) de modo que g nao seja continua em x=0.  Se,
por exemplo, se definirmos g(0) =2, entao em qualquer vizinhanca deletada de
x=0 teremos |g(f(x)) - 1| = |2-1| =1 >0 para uma infinidade de elementos x,
de modo que nao poderemos tornar  |g(f(x)) - 1| < eps se eps>0 for arbitrado
em valores menores que 1. Dado que 1 eh o unico candidato a limite de g o f
em x=0, segue-se que lim (x->0) g(f)x nao existe. Mas se definirmos g(0) =1,
entao g eh continua em y=0 e de fato temos lim (x->0) g(f(x) = 1.

Suponhamos agora que f(x) = x^2, x real, e g(y) = sen(y)/y para y<>0. Entao
g nao eh definida em y=0 e lim(y -> 0) g(y) =1. Mas temos que a condicao
x<>0 implica f(x) <>0, e temos de fato que temos lim (x->0) g(f(x) = 1.
Neste caso, o fato de g ser definida ou nao em y=0 em nada afeta o limite.
Poderiamos tambem definit g(0) como qualquer valor e tambem em nada
afetariamos o limite. Pela sua definicao, limites dependem do comportamento
da funcao em uma vizinahnaca de um ponto de acumulacao de seu dominio, mas
independem totalmente do valor da funcao no ponto ou mesmo da existencia ou
nao da funcao no ponto.

Espero ter ajudado e nao complicadado, este pontos sao de fato um pouco
confusos.
Artur    
     

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de fabiodjalma
Enviada em: Saturday, February 19, 2005 6:29 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br; obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] limites



Acabei de ler que 

sejam f de X em R e g de Y em R, com f(X)contido em Y, a pertencente ao 
conjunto X´ e b pertencente ao conjunto Y´inter Y. 
Se lim(x tende a a)f(x)= b e lim(y tende a b)g(y)= c 
entao lim(x tende a a)g(f(x))= c desde que c = g(b) ou que x diferente de a 
implique f(x) diferente de b. 
Nao entendi estas condiçoes. 




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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