Re: [obm-l] 3 problemas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Bruno Bruno (brunobbruno@gmail.com) escreveu:
> 
> Estou com dificuldades com esses daqui:
> 
> 1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 +.... +
> n^n  ?
> 

Minha solucao eh baseada no fato de que a sequencia n^n (mod 10) tem periodo
20. Mesmo assim, nao encontrei uma formula bonitinha.

No que se segue, as igualdades devem ser entendidas como congruencias mod
10.

0^k = 0 ==>
final 0 gera a subsequencia 0, 0, 0, 0, 0, ... - periodo 1.

1^k = 1 ==>
final 1 gera a subsequencia 1, 1, 1, 1, 1, ... - periodo 1.

2^(20k+2) = 4 e 2^(20k+12) = 6 ==>
final 2 gera a subsequencia 4, 6, 4, 6, 4, ... - periodo 2.

3^(20k+3) = 7  e  3^(20k+13) ==>
final 3 gera a subsequencia 7, 3, 7, 3, 7, ... - periodo 2.

4^(10k+4) ==>
final 4 gera a subsequencia 6, 6, 6, 6, 6, ... - periodo 1.

5^k = 5 ==>
final 5 gera a subsequencia 5, 5, 5, 5, 5, ... - periodo 1.

6^k = 6 ==>
final 6 gera a subsequencia 6, 6, 6, 6, 6, ... - periodo 1.

7^(20k+7) = 3  e  7^(20k+17) = 7 ==>
final 7 gera a subsequencia 3, 7, 3, 7, 3, ... - periodo 2.

8^(20k+8) = 6  e  8^(20k+18) = 4 ==>
final 8 gera a subsequencia 6, 4, 6, 4, 6, ... - periodo 2.

9^(2k+1) = 1 ==>
final 9 gera a subsequencia 1, 1, 1, 1, 1, ... - periodo 1.

***

n:
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
ultimo algarismo de n^n:
0  1  4  7  6  5  6  3  6  1  0  1  6  3  6  5  6  7  4  1
ultimo algarismo da soma parcial (1^1 + 2^2 + ... + k^k):
0  1  5  2  8  3  9  2  8  9  9  0  6  9  5  0  6  3  7  8


Logo, para n = 20m + r (m >= 0 e 0 <= n <= 19),
o ultimo algarismo de 1^1 + 2^2 + ... + n^n serah igual ao ultimo algarismo
de A + B, onde: 

A = 8m (mod 10) 

e B eh dado por:
r:
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B:
0  1  5  2  8  3  9  2  8  9  9  0  6  9  5  0  6  3  7  8

***

Por exemplo, se n = 1234 = 20*61 + 14, teremos:
A = 8*61 = 8*1 = 8  e  B = 5 ==>
A + B = 13 = 3 ==>
o ultimo algarismo de 1^1 + 2^2 + ... + 1234^1234 eh 3.
 
[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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