Re: [obm-l] 3 problemas

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Nicolau C. Saldanha (nicolau@mat.puc-rio.br) escreveu:
>
>On Fri, Feb 18, 2005 at 04:53:43AM -0300, Bruno Bruno wrote:
>> 3) Demontre que não existe função f: N -> N  tal que f( f(n)) = n+1
>
>Vou supor N = .
>
>Suponha por absurdo que exista tal f. Claramente f é injetiva
>pois f(a) = f(b) implica a+1 = f(f(a)) = f(f(b)) = b+1 donde a = b.
>Seja a = f(0) > 0 (pois f(0) = 0 implicaria f(f(0)) = 0+1 = 0).
>Se b = a-1 temos f(f(b)) = a = f(0) donde f(b) = 0.
>Não podemos ter b = 0 assim f(b-1) + 1 = 0, absurdo.

Apenas complementando a solução para o caso N = { 1, 2, 3, ... }, que acaba
incluindo o caso N = { 0, 1, ... }:
Se houvesse f com a propriedade, então

f(f(1)) = 2 ==> f(2) = f(f(f(1))) = f(1) + 1
f(1) + 2 = f(1) + 1 + 1 = f(f(f(1) + 1)) = f(f(2)) = 3 ==> f(1) = 1.

Mas então f(f(1)) = f(1) = 1, absurdo.

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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