Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Ai, ai... no e-mail anterior eu fiz (p^n)^n = p^n^n em vez de p^n^2, ou,
mais claramente, p^(n^2)... Felizmente isso não muda quase nada, a resolução
é quase idêntica, trocando-se um 13 por um 4 e nada mais! Abaixo segue já
com a alteração (e mais uma vez, desculpem!):

>Seja "a" um número pertencente ao conjuntos dos
>números reais tal que a > 1 e a "raiz n-ésima de a"
>seja um número primo.
>Pede-se determinar o menor valor de "n" para que a
>expressão:
>(a^n + b) / (a^n - b)
>
>seja também um número primo, sabendo-se que "b" é um
>quadrado perfeito.

Assumindo n inteiro, n > 1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima
e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1
seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo ==> a = p^n, portanto
a é inteiro.

Faça b = d^2 e seja k primo.

(p^(n^2) + d^2)/(p^(n^2) - d^2) = k

Fazendo k = 2, temos
p^(n^2) + d^2 = 2*p^(n^2) - 2*d^2
==> p^(n^2) = 3*d^2
==> p = 3 ==> d = 3^x

As igualdades agora são 3^(n^2) = 3^(2*x + 1) ==> n^2 = 2*x + 1 ==> n é ímpar

Tomamos n = 3 ==> x = 4.

Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser
2.

Se n = 2, teríamos

(p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k
==> p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2

Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 ==> p = 3 ==> 3^3 = d^2, absurdo.
Assim, k > 2, primo ==> k ímpar ==> mdc (k + 1, k - 1) = 2.

Segue que (k + 1)/2 divide p^4 ==> (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4
(não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo)

Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria
quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2;
analogamente para p em vez de p^3).

Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem
que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 ==> 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1
==> p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo
pois são inteiros consecutivos.

Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2)
= 2*p^2*d^2 ==> p^2(p^2 - 1) = d^2 ==> d = p*z ==> p^2 - 1 = z^2, isto é,
p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos.

Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3.

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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