Re: [obm-l] Soma de números primos

["Jair Donadelli Junior" <jair@xxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Soma de números primos

Um primo maior que 3 eh da forma 6m-1 ou 6m+1.

Assim, a soma eh limitada superiormente por:
2 + 3 + (6*1-1) + (6*1+1) + (6*2-1) + (6*2+1) + ... + (6*334 - 1) =
2 + 3 + 12*(1 + 2 + ... + 333) + 6*334 - 1 =
5 + 12*333*334/2 + 6*334 - 1 =
669340.

Agora, retiramos os numeros da forma 6m + 1 que sao multiplos de 5:
6m + 1 == 0 (mod 5) ==> m == 4 (mod 5)
Logo, podemos subtrair:
(6*4 + 1) + (6*9 + 1) + (6*14 + 1) + ... + (6*329 + 1) =
6*(4 + 9 + 14 + ... + 329) + 66 =
6*(66*(4+329)/2) + 66 =
66000.

Ou seja, achamos a cota superior de 669340 - 66000 = 603340.

Ainda dah pra melhorar a cota, se retirarmos os multiplos de 5 da forma 6m - 1:
6m - 1 == 0 (mod 5) ==> m == 1 (mod 5) ==>
podemos subtrair:
(6*6 - 1) + (6*11 - 1) + (6*16 - 1) + ... + (6*331 - 1) =
6*(6 + 11 + 16 + ... + 331) - 66 =
6*(66*(6+331)/2) - 66 =
66660.

Cota superior = 603340 - 66660 = 536680.


[]s,
Claudio.

on 13.10.04 15:08, Marcio M Rocha at ddcristo@bol.com.br wrote:

>     Boa tarde a todos. 
>
>  
>
>     Gostaria da ajuda de vocês com o seguinte problema: 
>
>  
>
>     “Demonstre que a soma de todos os números primos entre 1 e 2004 é menor que 667222.” 
>
>  
>
>     Tentei um caminho destrutivo, eliminado alguns números que não são primos: 
>
>  
>
> a)       Da seqüência 1, 2, 3, ..., 2004, retirei o 1 e os números pares maiores que 2. 
>
> b)       Calculei a soma S dos termos da seqüência restante 
>
>  
>
>  S = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 +...+ 2003 
>
>  
>
> obtendo S = 1 004 005. 
>
>  
>
> c)       Da seqüência anterior, eliminei os múltiplos de 3 maiores que 3. Como a soma desses múltiplos é 334 665, a soma 
>
>  
>
> S1 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + ... + 2003 
>
>  
>
> vale 
>
>  
>
> S1 = S – 334 665 = 669 340. 
>
>  
>
> Como a seqüência 2, 3, 5, 7, 11, ..., 2003 é formada ainda por números compostos, basta que eu retire alguns deles, lembrando apenas de não retirar nenhum múltiplo de 3. Retiro, então, 1963 = 13 x 151 e 155 = 5 x 31, e a soma dos números restantes fica igual a 667 222. Como ainda há números compostos, está claro que a soma dos primos entre 1 e 2004 deve ser menor que 667 222. 
>
>  
>
> Está tudo OK? Alguém poderia dar um caminho melhor? 
>
>  
>
> Abraços, 
>
>  
>
> Márcio Rocha. 
>
>  
>
> P.S. Embora reconheça que muitos participantes da lista não necessitem, gostaria de pedir em meu nome ( e talvez no de outros), que as soluções, sempre que possível, viessem acompanhadas das "motivações", para que aqueles que lêem não fiquem com a sensação de "coelho tirado da cartola". Peço isso porque li um artigo de Miguel de Guzmán onde ele diz que Euler, em sua obra, "colocava-se inicialmente na ignorância do tema e dos métodos que iria empregar, para começar en condicões de igualdade con aquele a quem trata de conduzir pelo caminho, ajudando-o a ver as dificuldades que ele mesmo encontrou, levando-o, às vezes, por caminhos equivocados que ele mesmo havia percorrido antes, a fim de que aprenda também dos equívocos". (O artigo completo em espanhol está em www.campus-oei.org/oim/saladelectura.htm <http://www.campus-oei.org/oim/saladelectura.htm> , sob o título "O papel do matemático en la educación matemática" 
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>  
>
> Se não estiver fora do tema, poder-se-ia discutir também estratégias de solução, como as apresentadas no Problem Solving Strategies. 
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>
> Desculpem se escrevi demais.