Re: [obm-l] Medias e Divisores

["Jair Donadelli Junior" <jair@xxxxxxxxxxx>]

Eu achei esse problema legal porque a chave, na minha opiniao, eh a
observacao bastante elementar que se os divisores de n sao d1, d2, ..., dk,
entao estes divisores tambem podem ser expressos como n/d1, n/d2, ..., n/dk.

Um outro resultado que pode ser provado com base nisso eh o seguinte:
Se os divisores positivos de n sao d1, d2, ..., dk, entao:
Phi(d1) + Phi(d2) + ... + Phi(dk) = n, onde:
Phi(m) = no. de inteiros positivos <= m e primos com m.

[]s,
Claudio.

on 29.10.04 16:08, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> Se d eh divisor de n, entao n/d tambem eh e d * n/d = n. Suponhamos que n
> tenha m divisorese seja  P o produto destes divisores. Se m for par,
> podemos entao expressar P como um produto de m/2 fatores do tipo d*(n/d) =
> n. Logo P = n^(m/2). Se m for impar, entao n tem um divisor d* tal que n/d*
> = d* (ou n teria necessariamente um numero par de divisores). Entao, n eh
> quadrado perfeito e d* = n^(1/2). Podemos entao expressar P como um produto
> de (m-1)/2 fatores do tipo d*(n/d) = n e de 1 fator igual a d*. Neste caso,
> P = n^[(m-1)/2]* n^(1/2) = n^(m/2). Em qualquer gaso,temos entao que G =
> P^(1/m) = n^(1/2) e que, portanto, G^2 = n.
> 
> 
> 
> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Assunto: [obm-l] Medias e Divisores
> Data: 28/10/04 12:24
> 
> E aqui vai um nao muito dificil envolvendo dois dos conceitos mais populares
> da lista:
> 
> Sejam A, G e H as medias aritmetica, geometrica e harmonica dos divisores
> positivos do inteiro positivo n.
> Prove que A*H = G^2 = n.
> 
> []s,
> Claudio.
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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