Re: [obm-l] Numeros no chapéu

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Feb 03, 2005 at 03:04:22AM -0500, Faelccmm@aol.com wrote:
> There are 3 persons (let's call them A,B and C) in a room. Each of them wears 
> a hat with a positive integer number marked on the hat. Each of the three
> persons can see the number on the two other hats, but cannot see the number
> on his/her own hat.
> 
> We tell them that one of the number is the sum of the two other numbers but 
> they don't know which one is the sum of the two others.
> 
> We ask A: Do you know what is your number?
> A looks at B and C, thinks and answers: I don't know.
> 
> Note here that the three persons are very intelligent and if they say that 
> they don't know, it is because there are no possibility for them to deduce
> their number.
> 
> We then ask B: Do you know what is your number?
> B looks at A and C, thinks and answers: I don't know.
> 
> We then ask C: Do you know what is your number?
> C looks at A and B, thinks and answers: Idon't know.
> 
> A thinks a little and say suddenly:
> Wait a minute! Now I know my number! I have 50.
> 
> What numbers have B and C respectively?

Os números são 50, 20, 30.

Na primeira jogada A pensou: O meu número é 10 ou 50, não sei qual.

Quando B disse que não sabia, A não se surpreendeu. Ele pensou:
Se eu tiver 10, B fica sem saber se tem 20 ou 40.
Se eu tiver 50, B fica sem saber se tem 20 ou 80.
Em qualquer um dos três casos, ele sabe que eu não teria como saber
a resposta.

Mas quando foi a vez de C responder, houve mais expectativa da parte de A.
Se o chapéu dele tivesse um 10, C iria deduzir que o seu (C) tinha 30.
De fato, imaginemos que A tivesse um 10: C veria um 10 e um 20.
Então C pensaria: eu tenho ou 10 ou 30. Se eu tiver 10,
B vê dois chapéus iguais e imediatamente descobre a resposta.
Ora, B (que é inteligente) não sabe a resposta: assim eu não posso
ter um 10. Donde eu tenho um 30.

Como C não fez nada disso, A deduz que o seu é um 50.

Não vou completar a solucão: fica para vocês pensarem pq esta
é a única resposta possível.

Vou propor ainda uma variante:

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Há três pessoas em um quarto, digamos A, B, C.
Cada uma tem um chapéu com um inteiro positivo.
Um dos três números é a soma dos outros dois (mas nâo se sabe qual).
Cada um vê os números nos outros dois chapéus mas não vê o próprio.
Os jogadores A, B, C são extremamente inteligentes.
Estas informacões são conhecimento comum entre A, B, C.
Assim, por exemplo, A confia na inteligência de B e C.

Um juiz entra no quarto e pergunta para A, B, C, A, B, C, A, B, C, ...
se ele sabe o seu número.

(i) Prove que este jogo sempre acaba: sempre chega um momento
em que alguém descobre o próprio número. Além disso, este alguém
é sempre o jogador que tem o maior dos três números (a soma).

(ii) Mostre como calcular a partir da posicão inicial exatamente
quantas rodadas o jogo demora.

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[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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