Re: [obm-l] trigonometria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] trigonometria

Aqui vai a conclusao: ainda meio bracal mas nao tanto quanto a solucao que eu havia imaginado anteriormente...

Sabemos que A + B + C = 1/2, AB + AC + BC = -1/2 e ABC = -1/8.

Por Girard, A, B e C sao raizes de p(x) = x^3 - x^2/2 - x/2 + 1/8   ==>
a = 1/A,  b = 1/B  e  c = 1/C sao raizes de q(x) = x^3 - 4x^2 - 4x + 8, onde:
a + b + c = 4,  ab + ac + bc = -4  e  abc = -8.

Queremos o valor de S = a^4 + b^4 + c^4.

(a + b + c)^4 = (a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc))^2  ==>
4^4 = (a^2 + b^2 + c^2 + 2*(-4))^2 ==>
a^2 + b^2 + c^2 = 24

(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) ==>
24^2 = S + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)

(ab + ac + bc)^2 = a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a + b + c) ==>
(-4)^2 =  a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2*(-8)*4 ==>
a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 = 80 ==>
576 = S + 2*80 ==>

S = 416.

[]s,
Claudio.

on 26.01.05 18:39, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

Eu me surpreenderia bastante se a demonstracao disso ai nao usasse complexos ou polinomios.

Uma ideia que me ocorre eh fazer aparecer estes cossenos em algum polinomio.
Pra isso, vamos considerar as raizes 7as. da unidade e a seguinte fatoracao macetosa de x^7 - 1:

x^7 - 1 = (x - 1)(x^2 - 2cos(2pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(4pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(6pi/7)x + 1).

(a demonstracao eh facil: basta agrupar as raizes complexas conjugadas, ou seja,
cis(2pi/7) com cis(12pi/7), cis(4pi/7) com cis(10pi/7), etc... )

Mas, cos(4pi/7) = -cos(3pi/7)  e  cos(6pi/7) = -cos(pi/7).
Logo:
x^7 - 1 = (x - 1)(x^2 + 2cos(pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(2pi/7)x + 1)(x^2 + 2cos(3pi/7)x + 1).

(x^7 - 1)/(x - 1) =
x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 =
(x^2 + 2cos(pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(2pi/7)x + 1)(x^2 + 2cos(3pi/7)x + 1)  

De agora em diante, pra simplificar, vamos fazer:
A = cos(pi/7), B = -cos(2pi/7) e C = cos(3pi/7)

De forma que:
x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + Ax + 1)(x^2 + Bx + 1)(x^2 + Cx + 1)     (1)

Queremos o valor de:  
1/A^4  +  1/B^4  +  1/C^4 =
((AB)^4 + (AC)^4 + (BC)^4)/(ABC)^4 = Num/Den

Fazendo x = i em (1) e simplificando, obtemos a identidade:
ABC = -1/8   (2)
ou seja,
Den = (ABC)^4 = 1/4096.

Fazendo x = 1 em (1):
(1 + A)(1 + B)(1 + C) = 7/8 ==>
1 + A + B + C + AB + AC + BC + ABC = 7/8

Usando (2):
A + B + C + AB + AC + BC = 0   (3)

Fazendo x = 2 em (1) e usando (2) e (3):
(5 + 4A)(5 + 4B)(5 + 4C) = 127 ==>
125 + 100(A + B + C) + 80(AB + AC + BC) + 64ABC = 127 ==>
20(A + B + C) = 2 - 80*0 - 64*(-1/8) = 10 ==>
A + B + C = 1/2 ==>
AB + AC + BC = -1/2

Resta calcular Num = (AB)^4 + (AC)^4 + (BC)^4, o que pode ser feito em funcao de A + B + C, AB + AC + BC e ABC, mas as contas sao demais pra mim...

[]s,
Claudio.

on 26.01.05 13:56, cleber vieira at vieira_usp@yahoo.com.br wrote:

Olá amigos,gostaria da ajuda de vocês no seguinte problema:
1) Provar que

sec^4(pi/7)+sec^4(2pi/7)+sec^4(3pi/7)= 416

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