[obm-l] RES: ajuda

[plataoterra <plataoterra@xxxxxxxxx>]

Desculpas, realmente, copiei errado. 
"Problema 6 

Seja F_n o conjunto de todas as bijeções f de {1,...,n} em {1,...,n} 
satisfazendo 
a)f(k)<k+2 para k=1,...,n e 
b)f(k) diferente de k para k=2,...,n. 

Determine a probabilidade de que f(1) diferente de 1 para um f 
arbitrário em F_n." 

Obrigado 

> Olá! 
> 
> Gostaria de pedir ajuda em uma questão que caiu no segundo teste de 
> seleção para a 40° IMO e 14° IBERO. 
> 
> "Problema 6 
> 
> Seja F_n o conjunto de todas as bijeções f de {1,...,n} em {1,...,n} 
> satisfazendo 
> a)f(k)<k+2 para k=1,...,n e 
> b)f(k) diferente de k para k=1,...,n. 
> 
> Determine a probabilidade de que f(1) diferente de 1 para um f 
> arbitrário em F_n." 
> 
Do jeito que voce escreveu, a probabilidade eh 1 pois, por definicao, todos 
os elementos de F_n sao permutacoes caoticas (bijecoes sem ponto fixo). Em 
particular, f(1) <> 1, para todo f de F_n. 

> Eu tentei fazê-la para n's pequenos (até 5) e a probabilidade encontrada é 
> dada em função da sequência de Fibonacci. Considerando que 
> i) F_0=0; 
> ii) F_n+2=F_n+1 + F_n. 
> 
> a probabilidade conjecturada para F_n seria 
> F_n-1/F_n 
> só que não consegui demonstrar nada disso. Parece que li que quando n 
tende 
> ao infinito, essa probabilidade fica muito próxima de (sqrt(5)-1)/2, que é 
o 
> inverso da razão áurea( acho). 
> 
> Veja: 
> Para n=1 
> f(1)=1. Probabilidade 0/1 
> Para n=2 
> f(1)=2 e f(2)=1. Probabilidade 1/1 
> Para n=3 
> f(1)=1, f(2)=3 e f(3)=2, ou 
> f(1)=2, f(2)=3 e f(3)=1. Probabilidade 1/2 
> Para n=4 
> f(1)=1, f(2)=3, f(3)=4 e f(4)=2, ou 
> f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4 e f(4)=1, ou 
> f(1)=2, f(2)=1, f(3)=4 e f(4)=3. Probabilidade 2/3 
> Para n=5 
> f(1)=1, f(2)=3, f(3)=2, f(4)=5 e f(5)=4, ou 
> f(1)=1, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=5 e f(5)=2, ou 
> f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=5 e f(5)=1, ou 
> f(1)=2, f(2)=1, f(3)=4, f(4)=5 e f(5)=3, ou 
> f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1, f(4)=5 e f(5)=4. Probabilidade 3/5 
> 
> Caso esse problema já tenha sido resolvido na lista e/ou minha solução 
> esteja completamente errada, me avisem. 
> Gostaria de pedir também se alguém tem dicas sobre bons sites na internet 
> que tratem sobre a razão áurea e a sequência de Fibonacci , além de bons 
> arquivos que alguém possa 
> querer me enviar além de bons exercícios. Meu e-mail é 
> plataoterra@ig.com.br. 
> 
> grato, 
> 
> Platão Gonçalves Terra Neto 
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
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