Re: [obm-l] alg. linear - transposta de uma operador

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] alg. linear - transposta de uma operador

Oi, Eder:

Nesse caso, eu diria que o k eh fixo e eh um autovalor de T, associado ao autovetor u.

Seja P: V -> V o operador linear dado por P = T - k*I, de modo que: 
P(u) = 0 e, para todo v em V,  f(P(v)) = f(T(v)) - k*f(v).

Assim, temos que provar que, dado o P acima, existe f: V -> K tal que f <> 0 e f(P(v)) = 0, para todo v em V.

Isso quer dizer que a imagem de P estah contida no nucleo de f.

Seja B = {u_1, ..., u_r} uma base da imagem de P.

Como P(u) = 0 para u <> 0, o nucleo de P eh nao-trivial. 
Logo, pelo teorema do nucleo e da imagem, r < dim(V), de forma que podemos estender B a uma base de V: {u_1, ..., u_r, v_1, ..., v_s}, onde dim(V) = r + s  e  s >= 1.

Definimos f: V -> K da seguinte forma:
f(u_i) = 0  (1<=i<=r)  e  f(v_j) = 1 (1<=j<=s).

Para todo v em V, f(P(v)) = 0, mas f <> 0 pois f(v_1) = 1.

[]s,
Claudio.


on 26.01.05 09:56, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

meu caro cláudio,

vou colocar o enunciado exatamente como estah no livro "Um Curso de Álgebra Linear - Flávio Ulhoa Coelho & Maryan Lilian Lourenço", pág. 128, Exerc. (4):

Sejam V um K-esp. vet. de dim. finita e T pertencente a L(V,V). Seja k pertencente a K e vamos supor que existe u<>0 em V tal que T(u) = ku. Demonstre que existe um funcional linear nao nulo f sobre V tal que foT = kf.

PS.: A minha interpretaçao é que dado k em K existe u<>0 em V tal que T(u) = ku.

grato desde já, éder.

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

on 20.01.05 18:19, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

gostaria de uma ajuda no problema abaixo:

Sejam V um K-esp. vetorial de dimensão finita e T em L(V). Suponha que, dado k em K, existe um v em V, v<>0, tal que T(v) = kv.

*** Da forma como estah escrito, parece que todo elemento k de K eh um autovalor de T. Eh isso mesmo? Imagino que isso seja verdade quando K = Z/(p) (p primo) e o polinomio caracteristico de T seja x^p - x.
Ou voce quer dizer que "existe um k em K tal que, para um certo v de V - {0} vale T(v) = kv"?

[]s,
Claudio.



Demonstre que existe um funcional linear, não nulo, f em V* tal que foT = kf (ou seja, f(T(u)) = kf(u), p/ todo u em V e para um dado k em K.)


Obs.: A tranformação linear T^t: V* ---> V* definida por T^t(f) = foT é conhecida como a transposta de T.

grato desde já, éder.

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