[obm-l] Provar desigualdade por areas (era: Provar desigualdade por indução)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jan 21, 2005 at 05:18:22PM -0300, Alan Pellejero wrote:
> Olá a todos os amigos da lista!
> Essa desigualdade é do livro do Apostol e eu não
> consigo demonstrá-la.
> Gostaria que alguém me ajudasse.
> Grato!
> 
> 1^3 + 2^3+ ... +(n-1)^3 <(n^4)/4 <1^3 + 2^3 + ... + n^3

Isto funciona melhor com um desenho.
Considere a região 0 < x < n, 0 < y < x^3.
A área desta região é integral_0^n x^3 dx = (n^4)/4.
Você pode aproximar a área por baixo
tomando vários retângulos de base (k,0), (k+1,0)
e de altura k^3 onde k varia de 1 a (n-1);
podemos excluir k = 0 que daria um retângulo degenerado.
A área total dos retângulos é
1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3.
Analogamente, você pode aproximar a área por cima
tomando retângulos de base (k,0), (k+1,0) e
de altura (k+1)^3. Agora k varia de 0 a (n-1) e
neste caso a área total é
1^3 + 2^3 + ... + n^3.

[]s, N.

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