Re: [obm-l] Sequencias

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Este exemplo do Bernardo eh bem legal. Eu dei aqueles outros exemplos porque
me vieram imediatamente aa cabeca.

O exemplo do Bernardo tem uma generalizacao para espacos metricos que
contenham um subconjunto denso e enumeravel. Tais espacos sao conhecidos
pela denominacao (a meu ver, muito infeliz) de espacos separaveis. Os R^n
enquandram-se precisamente neste caso, pois o conjunto dos  pontos com
coordenadas racionais eh enumeravel e  denso em R^n . 
Se S eh um espaco metrico e D eh um subconjunto denso e enumeravel de S,
entao qualquer sequencia que enumere os elementos de D tem como conjunto dos
pontos de aderencia o proprio S. Pelos mesmos motivos que o Bernardo expos. 

A respeito do exemplo que dei sobre a funcao |sen(n)| hah uma generalizacao
baseada no seguinte teorema: se f:R_>R eh continua, periodica e
nao-constante em R e seu periodo fundamental p eh irracional, entao a
sequencia f(n) eh densa em f([0,p]). 
Abracos
Artur

--------- Mensagem Original --------
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Bom, sem usar um exemplo sofisticado como o do Arthur, um truque bem
legal para este tipo de problema é pensar racionalmente. Ou seja, tome
uma enumeração qualquer dos racionais do intervalo [0,1] = {x_1, x_2,
x_3, ...}. É claro que isto é uma seqüência, e o mais legal é que a
aderência é todo [0,1]. Pense porquê: um número real qualquer possui
vizinhanças arbitrariamente pequenas que contém infinitos números
racionais. Assim, em qualquer ponto da sequüência, como você só
retirou uma quantidade FINITA de termos, ainda restam infinitos,
portanto NENHUMA vizinhança destes números perdeu todos os INFINITOS
racionais que ela continha. Uma das aplicações é generalizar esta
demonstração (faça exatamente o mesmo) para espaços onde os racionais
sejam densos e enumeráveis (isso é para evitar maiores patologias,
tipo dimensão não-enumerável, coisas asssim), e é exatamente igual:
faça uma enumeração dos mesmos.

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