Re: [obm-l] polinômio divisor de zero

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Oi, Domingos

Domingos Jr. (dopikas@uol.com.br) escreveu:
>
>Sejam p(x) e q(x) em R[x] tais que pq = 0. Chame d(f) = grau(f). Suponha que
>d(p), d(q) > 0 e que para todos p', q' não-nulos em R[x] com d(p') <
>d(p) e d(q') < d(q) tenhamos
>p' q !=0 e p q' != 0.
>
>Seja p(x) = a_0 + ... + a_n x^n e q(x) = b_0 + ... + b_m x^m
>Pelo raciocínio que eu empreguei na outra mensagem, verificamos que a_i
>b_0^ = 0 para todo i.
>Se b_0^k != 0 para todo k então b_0^ p = 0, o que contraria a hipótese.
>Seja k o maior inteiro tal que b_0^k != 0. Se b_0^k q = 0 então também
>caímos em contradição, mas
>b_0^k q = b_0^ + b_0^k b_1 x + ... + b_0^k b_m x^m = x[b_0^k b_1 +
>... + b_0^k b_m x^].
>
>Chame r(x) = b_0^k b_1 + ... + b_0^k b_m x^, então
>p q = 0 => p (b_0^k q) = 0 => p (x r) = 0 => x (p r) = 0 => p r = 0 =>
>absurdo pois d(r) < d(q)!
>
>Isso mostra que a suposição original nunca pode ser verdadeira. Boa sorte!

Ok, provando o seguinte lema nós matamos o problema:

Se p*q = 0, e existem p' com d(p') < d(p) e q' com d(q') < d(q) tais que
p'*q = 0 e p'*q' = 0, onde nenhum polinômio em questão é nulo, então existe
q'' não nulo com d(q'') < d(q) tal que p*q'' = 0.

Observe que isto seria a extensão imediata da sua proposição (as hipóteses
seguem diretamente dela) para mostrar que é possível baixar o grau tanto
para q quando para p. Daí era só aplicar o resultado sucessivamente até
baixar o grau a zero e obter b em R\{ 0 } tal que p*b = 0.

Mas ainda não consegui provar isso.

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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