Re: [obm-l] Problemas em aberto

[kleinad@xxxxxxxxxx]

>16) Ache o menor inteiro positivo tal que se deslocarmos o seu algarismo
>mais a esquerda para a posicao mais a direita (ou seja, das unidades)
>obteremos um inteiro uma vez e meia maior do que o original.

Seja k = a_n*10^n + a_(n-1)*10^(n-1) + ... + 1_a*10 + a_0, onde 0<=a_i<=9
com a_n <> 0.

Após a mudança, obtemos
t = a_(n-1)*10^n + a_(n-2)*10^(n-1) + ... + a_1*10^2 + a_0*10 + a_n
  = 10*k - a_n*10^(n+1) + a_n
  = 10*k - a_n*(10^(n+1) - 1).

A condição é 2*t = 3*k, o que implica

20*k - 2*a_n*(10^(n+1) - 1) = 3*k
<==>
17*k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1).

Primeiramente, 17 tem que dividir 10^(n+1) - 1, ou seja, 10^(n+1) == 1 (mod
17).

Sabemos por Euler-Fermat que para n = 15 isso ocorre. Agora, pensando no
grupo Z/(17_Z), e usando Lagrange, qualquer outro (n+1) menor e que
satisfaça a igualdade deverá ser divisor de 16. Ou seja, n = 0, 1, 3 ou 7. A
minha calculadora diz que isso não vale para nenhum destes valores de n.....
Logo, n = 15 é o menor possível.

Resta mostrar que para algum a_n tem-se k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1)/17 um
número com no máximo n casas decimais, ou seja, k <= 10^(n+1) - 1.

Mas é imediato que k < 10^(n+1) - 1 para a_n = 1, o que mostra que o menor
inteiro positivo satisfazendo a relação é 2*(10^(n+1) - 1)/17.

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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