Re: [obm-l] e o problema alg. linear - cardinalidade

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] e o problema alg. linear - cardinalidade

on 07.01.05 13:57, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

E o problema abaixo, proposto antes,
ninguém tem uma idéia para fazê-lo?

Seja V um K-espaço vetorial que admite uma base infinita B. Mostrar que qualquer outra base de V tem a mesma cardinalidade de B.

grado desde já, éder.

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Suponhamos que existam bases A e B de V tais que card(A) < card(B).

Cada elemento a de A pode ser expresso de maneira unica como uma K-combinacao linear de um numero finito de elementos de B.

Seja B' o subconjunto de B cujos elementos fazem parte da combinacao linear que expressa pelo menos um elemento de A.

B' serah uma uniao de conjuntos finitos indexada por elementos de A.
Logo, como A eh infinito, card(B') = card(A) < card(B).

Mas eh claro que B' gera V, jah que B' gera A e A eh uma base de V.

Seja v pertencente a B - B'. Um tal v existe porque card(B') < card(B).
Como B' gera V, vao existir b_1, b_2, ..., b_n em B' e x_1, x_2, ..., x_n em K tal que:
v = x_1*b_1 + x_2*b_2 + ... + x_n*b_n.
Obviamente v <> b_i para cada i.

Isso quer dizer que o vetor v de V estah sendo expresso de duas formas distintas como uma combinacao linear de elementos de B, o que contradiz o fato de B ser uma base de V.

Essa contradicao decorre da hipotese feita inicialmente sobre a existencia de duas bases A e B de V tais que card(A) < card(B).

Logo, quaisquer duas bases de V tem o mesmo cardinal.


[]s,
Claudio.