Re: [obm-l] série de inversos curiosa

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

kleinad@webcpd.com wrote:

>Um probleminha para começar o ano:
>
>Considere todos os números naturais cuja representação decimal não possua
>nenhum dígito 9. Prove que a soma dos inversos desses números converge.
>
>  
>

Oi,

Suponha que n_1, ..., n_r são todos os números com exatamente k dígitos 
e sem dígito 9.
Defina T_k = 1/n_1 + ... + 1/n_r. É evidente que a soma que estamos 
considerando é S = T_1 + T_2 + ...
Sendo assim, vamos nos preocupar com a razão T_{k+1}/T_k.

Observe que todo número com k+1 dígitos sem que nenhum deles é 9 é 
composto de k dígitos iniciais que formam um número de k dígitos sem 9 e 
um dígito final que pode ser 0~8. Isso nos diz que T_{k+1} = [1/10n_1 + 
... + 1/10n_r] + [1/(10n_1 + 1) + ... + 1/(10n_r + 1)] + ... + [1/(10n_1 
+ 8) + ... + 1/(10n_r + 8)] < 9 [1/10n_1 + ... + 1/10n_r] = 9/10 T_k.

Observe que S < T_1 [1 + 9/10 + (9/10)^2 + ... ] = 10 T_1.
Isso mostra que a série é limitada superiormente. Como a série é 
crescente, sabemos que o valor da soma converge.

[ ]'s
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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