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Re: [obm-l] Probleminha....
Cara, uma primitiva deve ter sim. Afinal, esta função é contínua em (0, +inf)
e lim x->0 x^x = 1, logo ela tem uma primitiva. Mas uma coisa
bonitinha, analítica, aí tem que pensar mais. O Nicolau deve saber
demonstrar se tem ou não. Aliás, como se chama mesmo o algoritmo para
integração ??
Abraços e bom Ano-novo,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Tue, 28 Dec 2004 17:11:19 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado
<1osv1@bol.com.br> wrote:
> > Eu usei calculo, tambem acaba sendo simples. Eh facil mostrar que so
> > precisamos nos deter no conjunto (0,1/e) x (0,1/e). Para isto, observamos
> > que se 0 < y < 1 e x>=1/e, entao f(x,y) = x^y + y^x > (1/e)^y + y = e^(-x)
> > + y = g(y).
>
> Apenas corrigindo um errinho de conta g(y)=exp(-y)+y=g(y)
>
>
>
>
> Eh facil ver, igualando a zero sua derivada, que esta funcao tem
> > um minimo global em x = 0 e que, portanto, g(y) >= g(0) = 1 para todo real
> > y. Por simetria, isto leva nosso interese ao conjunto 0,1/e) x (0,1/e).
> > Determinando a derivada parcial de f com relacao a x e igualando a zero,
> > obtermos y*(x^(y-1)) = - (y^x)*ln(y) = 0. Fazeno o mesmo com a derivada
> > parcial com relacao a y, obtemos uma equacao similar permutando-se x e y.
> > Este sistema aparentemente tenebroso nao eh assim tao assuatador, pois se
> > multiplicarmos as equacoes chegamos aa interessante conclusao de que, no
> > ponto que anula o gradiente, ln(x)*ln(y) =1. Como estamos interesados em
> > 0,1/e) x (0,1/e), isto nos mostra que,neste conjunto, a unica solucao
> > possivel eh x = y=1/e, tendo-se que f(1/e, 1/e) > 1. Se (1/e, 1/e) for
> ponto
> > de minimo, entao, como f(x,y) -> 1 na fronteira do conjunto temos a
> > desigualdade. Mas , na realidade este nao eh um ponto de minimo, conforme
> > podemos ver se determinarmos a matriz Hessiana de f. De qualquer forma a
> > desigualdae vale, pois f >1 na fronteira.
> > Outra forma de resolver sem derivadas parcias eh analisa o comportamento
> de
> > f para 0
> > Podem dizer que eu compliquei, mas, na realidade, estes conceitos de
> calculo
> > sao bastante simples.
> > Artur
>
>
>
>
> Me surgiu uma pergunta: f(x)=x^x=exp(x.lnx) tem primitiva ?
>
>
>
>
>
>
>
> >
> >
> > --------- Mensagem Original --------
> > De: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Para: "obm-l"
> > Assunto: Re: [obm-l] Probleminha....
> > Data: 28/12/04 06:18
> >
> >
> > Olá Vinicius.
> >
> > Será que vc procurou direito?
> >
> > Eureka! 8, página 60 - "Problemas propostos"
> >
> > "Se a e b são números reais positivos, então a^b+b^a>1"
> >
> > A solução é muito simples e está na Eureka! 10, página 42 - "Soluções de
> > probemas propostos".
> >
> > A prova é muito simples. Se a>1 ou b>1 a desigualdade é imediata. Assim
> "os
> > alunos do CEMPI" fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos.
> >
> > a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a
> >
> > notando que 1/(1+u)^b>1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que
> > 1/(1+v)^a>1/(1+av)=1/(1+v/(u+1))
> > somando as desigualdades chegamos ao resultado.
> >
> > A desigualdade é demonstrável atraves de Cálculo.
> >
> >
> > []'s.
> >
> >
> > > Oi Vinicius,
> > > Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil - mas
> > > usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um
> tanto
> > > intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui.. Falta
> > dar
> > > uma revisada, posso ter cometido algum engano.
> > > Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1) x
> > (0,1)
> > > e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar (x,y)
> > em
> > > (0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase sempre
> > > apresentam algo interessante em e ou em 1/e.
> > > Artur
> > >
> > >
> > > ------- Mensagem Original --------
> > > De: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
> > > Assunto: [obm-l] Probleminha....
> > > Data: 24/12/04 02:26
> > >
> > >
> > > Não achei a resoluçao desse exercicio na Eureka, caso alguem possa me
> > > esclarecer ficarei muito grato:
> > >
> > >
> > > X^y+y^X>1
> > >
> > > Um ótimo Natal a todos e a suas famílias!!!!
> > >
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> > > Vinícius Meireles Aleixo
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> > Osvaldo Mello Sponquiado
> > Engenharia Elétrica, 2ºano
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