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Re: [obm-l] Probleminha....

> Eu usei calculo, tambem acaba sendo simples. Eh facil mostrar que so
> precisamos nos deter no conjunto (0,1/e) x (0,1/e). Para isto, observamos
> que se 0 < y < 1 e x>=1/e, entao f(x,y) = x^y + y^x > (1/e)^y + y = e^(-x)
> + y = g(y).
 
Apenas corrigindo um errinho de conta g(y)=exp(-y)+y=g(y)
 
 
 
 
 Eh facil ver, igualando a zero sua derivada, que esta funcao tem
> um minimo global em x = 0 e que, portanto, g(y) >= g(0) = 1 para todo real
> y. Por simetria, isto leva nosso interese ao conjunto 0,1/e) x (0,1/e).
> Determinando a derivada parcial de f com relacao a x e igualando a zero,
> obtermos y*(x^(y-1)) = - (y^x)*ln(y) = 0. Fazeno o mesmo com a derivada
> parcial com relacao a y, obtemos uma equacao similar permutando-se x e y.
> Este sistema aparentemente tenebroso nao eh assim tao assuatador, pois se
> multiplicarmos as equacoes chegamos aa interessante conclusao de que, no
> ponto que anula o gradiente, ln(x)*ln(y) =1. Como estamos interesados em
> 0,1/e) x (0,1/e), isto nos mostra que,neste conjunto, a unica solucao
> possivel eh x = y=1/e, tendo-se que f(1/e, 1/e) > 1. Se (1/e, 1/e) for ponto
> de minimo, entao, como f(x,y) -> 1 na fronteira do conjunto temos a
> desigualdade. Mas , na realidade este nao eh um ponto de minimo, conforme
> podemos ver se determinarmos a matriz Hessiana de f. De qualquer forma a
> desigualdae vale, pois f >1 na fronteira.
> Outra forma de resolver sem derivadas parcias eh analisa o comportamento de
> f para 0
> Podem dizer que eu compliquei, mas, na realidade, estes conceitos de calculo
> sao bastante simples.
> Artur
 
 
 
 
Me surgiu uma pergunta: f(x)=x^x=exp(x.lnx) tem primitiva ?
 
 
 
 
 
 
 
>
>
> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l"
> Assunto: Re: [obm-l] Probleminha....
> Data: 28/12/04 06:18
>
>
> Olá Vinicius.
>
> Será que vc procurou direito?
>
> Eureka! 8, página 60 - "Problemas propostos"
>
> "Se a e b são números reais positivos, então a^b+b^a>1"
>
> A solução é muito simples e está na Eureka! 10, página 42 - "Soluções de
> probemas propostos".
>
> A prova é muito simples. Se a>1 ou b>1 a desigualdade é imediata. Assim "os
> alunos do CEMPI" fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos.
>
> a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a
>
> notando que 1/(1+u)^b>1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que
> 1/(1+v)^a>1/(1+av)=1/(1+v/(u+1))
> somando as desigualdades chegamos ao resultado.
>
> A desigualdade é demonstrável atraves de Cálculo.
>
>
> []'s.
>
>
> > Oi Vinicius,
> > Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil - mas
> > usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um tanto
> > intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui.. Falta
> dar
> > uma revisada, posso ter cometido algum engano.
> > Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1) x
> (0,1)
> > e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar (x,y)
> em
> > (0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase sempre
> > apresentam algo interessante em e ou em 1/e.
> > Artur
> >
> >
> > ------- Mensagem Original --------
> > De: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
> > Assunto: [obm-l] Probleminha....
> > Data: 24/12/04 02:26
> >
> >
> > Não achei a resoluçao desse exercicio na Eureka, caso alguem possa me
> > esclarecer ficarei muito grato:
> >
> >
> > X^y+y^X>1
> >
> > Um ótimo Natal a todos e a suas famílias!!!!
> >
> >
> > Vinícius Meireles Aleixo
> >
> > ________________________________________________
> > OPEN Internet e Informática
> > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Atenciosamente,
> Osvaldo Mello Sponquiado
> Engenharia Elétrica, 2ºano
> UNESP - Ilha Solteira
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