Re: [obm-l] Probleminha....

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Esta funcao nao tem minimo. Podemos torna-la maior e arbitrariamente proxima
de 1, mas nunca  igual a 1. Eu acho que em todo o dominio ela nao tem nenhum
minimo local, parece-me que seu hessiano nunca eh positivo definido em
pontos que anulem o gradiente. 
Um fato interessante eh que esta funcao nao apresenta limite em (0,0), de
modo que eh imposivel definir f(0,0) de modo a torna-la continua na origem.

Aproveitando a oportunidade, que no ano dado pelo inteiro positivo composto
raiz(4020025), pertecente ao conjunto enumeravel dos anos do calendario
Gregoriano, o conjunto das realizacoes dos amigos da lista tenha medida
maior do que qualquer M>0 arbitrariamente escolhido.   

Artur


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha....
Data: 28/12/04 12:36


Um problema correlato:

Qual o valor minimo atingido por F:(0,+inf)x(0,+inf) -> R, F(x,y) = x^y +
y^x ?

[]s,
Claudio.

De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Tue, 28 Dec 2004 05:08:06 -0200

Assunto:Re: [obm-l] Probleminha....

  

> Olá Vinicius. 
>  
> Será que vc procurou direito?
>  
> Eureka! 8, página 60 - "Problemas propostos"
>  
> "Se a e b são números reais positivos, então a^b+b^a>1"
>  
> A solução é muito simples e está na Eureka! 10, página 42 - "Soluções de
probemas propostos".
>  
> A prova é muito simples. Se a>1 ou b>1 a desigualdade é imediata. Assim
"os alunos do CEMPI"  fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos.
>  
> a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a
>  
> notando que 1/(1+u)^b>1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que
1/(1+v)^a>1/(1+av)=1/(1+v/(u+1))
> somando as desigualdades chegamos ao resultado.
>  
> A desigualdade é demonstrável atraves de Cálculo.
>  
>  
> []'s.
>  
>  
> > Oi Vinicius, 
> > Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil - mas 
> > usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um
tanto 
> > intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui. Falta
dar 
> > uma revisada, posso ter cometido algum engano. 
> > Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1) x
(0,1) 
> > e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar (x,y)
em 
> > (0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase sempre 
> > apresentam algo interessante em e ou em 1/e. 
> > Artur 
> > 
> > 
> > ------- Mensagem Original -------- 
> > De: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" 
> > Assunto: [obm-l] Probleminha.... 
> > Data: 24/12/04 02:26 
> > 
> > 
> > Não achei a resoluçao desse exercicio na Eureka, caso alguem possa me 
> > esclarecer ficarei muito grato: 
> > 
> > 
> > X^y+y^X>1 
> > 
> > Um ótimo Natal a todos e a suas famílias!!!! 
> > 
> > 
> > Vinícius Meireles Aleixo 
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