Re: [obm-l] Probleminha....

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eu usei calculo, tambem acaba sendo simples. Eh facil mostrar que so
precisamos nos deter no conjunto (0,1/e) x (0,1/e). Para isto, observamos
que se 0 < y < 1  e x>=1/e, entao f(x,y) = x^y + y^x > (1/e)^y + y = e^(-x)
+ y = g(y). Eh facil ver, igualando a zero sua derivada, que esta funcao tem
um minimo global em x = 0 e que, portanto, g(y) >= g(0) = 1 para todo real
y. Por simetria, isto leva nosso interese ao conjunto 0,1/e) x (0,1/e).  
Determinando a derivada parcial de f com relacao a x e igualando a zero,
obtermos y*(x^(y-1)) = - (y^x)*ln(y) = 0. Fazeno o mesmo com a derivada
parcial com relacao a y, obtemos uma equacao similar permutando-se x e y.
Este sistema aparentemente tenebroso nao eh assim tao assuatador, pois se
multiplicarmos as equacoes chegamos aa interessante conclusao de que, no
ponto que anula o gradiente, ln(x)*ln(y) =1. Como estamos interesados em 
0,1/e) x (0,1/e), isto nos mostra que,neste conjunto, a unica solucao
possivel eh x = y=1/e, tendo-se que f(1/e, 1/e) > 1. Se (1/e, 1/e) for ponto
de minimo, entao, como f(x,y) -> 1 na fronteira do conjunto temos a
desigualdade. Mas , na realidade este nao eh um ponto de minimo, conforme
podemos ver se determinarmos a matriz Hessiana de f. De qualquer forma a
desigualdae vale, pois f >1 na fronteira.
Outra forma de resolver sem derivadas parcias eh analisa o comportamento de
f para 0<y<=x<1/e.
Podem dizer que eu compliquei, mas, na realidade, estes conceitos de calculo
sao bastante simples.
Artur      


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha....
Data: 28/12/04 06:18


Olá Vinicius. 

Será que vc procurou direito?

Eureka! 8, página 60 - "Problemas propostos"

"Se a e b são números reais positivos, então a^b+b^a>1"

A solução é muito simples e está na Eureka! 10, página 42 - "Soluções de
probemas propostos".

A prova é muito simples. Se a>1 ou b>1 a desigualdade é imediata. Assim "os
alunos do CEMPI"  fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos.

a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a

notando que 1/(1+u)^b>1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que
1/(1+v)^a>1/(1+av)=1/(1+v/(u+1))
somando as desigualdades chegamos ao resultado.

A desigualdade é demonstrável atraves de Cálculo.


[]'s.


> Oi Vinicius, 
> Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil - mas 
> usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um tanto 
> intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui.. Falta
dar 
> uma revisada, posso ter cometido algum engano. 
> Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1) x
(0,1) 
> e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar (x,y)
em 
> (0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase sempre 
> apresentam algo interessante em e ou em 1/e. 
> Artur 
> 
> 
> ------- Mensagem Original -------- 
> De: obm-l@mat.puc-rio.br 
> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" 
> Assunto: [obm-l] Probleminha.... 
> Data: 24/12/04 02:26 
> 
> 
> Não achei a resoluçao desse exercicio na Eureka, caso alguem possa me 
> esclarecer ficarei muito grato: 
> 
> 
> X^y+y^X>1 
> 
> Um ótimo Natal a todos e a suas famílias!!!! 
> 
> 
> Vinícius Meireles Aleixo 
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Atenciosamente, 
Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira 

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