Re: [obm-l] Determinante

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Po, Domingos! Eu falei solucao esperta!!! :-)

De qualquer forma, eu fiz algo parecido...

A eh simetrica real ==> A eh diagonalizavel
A tem posto 2 ==> A tem apenas dois autovalores nao nulos, ambos reais.
Logo, det(A - xI) = -x^2003*(x - k)*(x - h)
Falta achar k e h. Dai eh soh fazer x = -1.

Dada a forma de A, nao eh tao do outro mundo procurar um autovetor da forma:
v = (x,y,x,y,....,y,x)^t.
Entao Av = (1002y,1003x,1002y,...,1003x,1002y)^t

Av = kv ==> 
1002y = kx  e  1003x = ky ==>
k = raiz(1002*1003) e h = -k ==>
det(A - xI) = -x^2003*(x^2 - 1002*1003) ==>
det(A + I) = 1*(1 - 1002*1003) = -1005005.

***

Serah que nao tem um problema combinatorio envolvendo A ou A + I?

[]s,
Claudio.



on 14.12.04 18:38, Domingos Jr. at dopikas@uol.com.br wrote:

> Claudio Buffara wrote:
> 
>> Alguem tem uma solucao "esperta" pra esse aqui?
>> 
>> A matriz A = (a_ij) 2005x2005 eh tal que a_ij = 0 se i+j eh par e a_ij = 1
>> se i+j eh impar.
>> I_2005 eh a matriz identidade de ordem 2005.
>> Calcule det(A + I_2005).
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
> 
> talvez!
> 
> Seja a o vetor com 2005 coordenadas da forma a = (0, 1, 0, 1, ..., 0) e
> b também com 2005 coordenadas da forma b = (1, 0, 1, 0, ..., 1).
> Note que a matriz A é formada pelas colunas a, b na seqüência [a b a b
> ... a].
> 
> Sabemos que det(A - I) é o produto dos auto-valores de A + I. Mas se d é
> auto-valor de A + I então d - 1 é auto-valor de A, então, se soubermos
> todos os auto-valores de A então sabemos cacular o determinante pedido.
> 
> Observe que para qualquer vetor x, Ax é uma combinação linear de a e b.
> Suponha
> Ax = d x, devem existir r e s tais que
> x = r a + s b, ou seja, todo auto-vetor x é combinação linear de a e b.
> 
> Ademais, observe que
> Aa = 1002 b e
> Ab = 1003 a, logo se
> A(r a + s b) = d(r a + s b) então
> d(r a + s b) = 1002r b + 1003s a
> 
> Normalmente não podemos fazer o que vamos fazer, mas como a e b tem
> coordenadas não-nulas complementares, temos
> d*r = 1003s
> d*s = 1002r.
> Manipulando um pouco, obtemos 1002 r^2 = 1003 s^2, como 1002 e 1003 são
> primos entre si só pode haver as seguintes soluções:
> r = +/- raiz(1003)
> s = +/- raiz(1002).
> Temos que d pode ser raiz(1003*1002) ou -raiz(1003*1002). Esses são os
> dois únicos auto-valores não nulos de A. Pelo que constatamos logo no
> começo, os auto-valores de A + I são 1 + raiz(1003*1002), 1 -
> raiz(1003*1002) e 1 com multiplicidade 2003.
> 
> Agora é só calcular o produto... Aqui eu vou generalizar o resultado e
> falar de uma matriz de tamanho 2m + 1. Neste caso, o determinante é
> [1 + raiz(m*(m+1))] [1 - raiz(m*(m+1))] = 1 - m*(m+1) = 1 - m - m^2.
> 
> [ ]'s
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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